후레비치 준동형

대수적 위상수학에서 후레비치 준동형(Hurewicz準同型, 틀:Llang)은 어떤 위상 공간의 호모토피 군에서 호몰로지 군으로 가는 군 준동형이다. 특수한 경우, 이 군 준동형은 후레비치 정리(틀:Llang)에 따라 군의 동형을 이룬다.

정의

점을 가진 공간 $(X,\bullet )$ 및 밑점을 보존하는 연속 함수

$f:({𝕊}^n,{\bullet }_{{𝕊}^n})\to (X,{\bullet }_X)$

가 주어졌을 때, ${𝕊}^n$의 기본류 $[{𝕊}^n]\in {\mathrm{H}}_n({𝕊}^n;\mathbb{Z})$를 특이 호몰로지에 따라 밀어서 다음 호몰로지류를 얻는다.

$f^{*}[{𝕊}^n]\in {\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})$

이 때 이 호몰로지류와 $f$의 호모토피류 $[f]\in {\pi }_n(X,{\bullet }_X)$를 대응하는 함수 $h_n$를 정의할 수 있다.

$h_n:{\pi }_n(X)\to {\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})$

$h_n:[f]\mapsto f^{*}[{𝕊}^n]$

이 함수를 후레비치 준동형이라고 한다.

성질

준동형성

$n\ge 1$일 경우, 후레비치 준동형 $h_n:{\pi }_n(X)\to {\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})$은 군 준동형을 이룬다.

$n=0$일 경우 ${\pi }_0(X)$는 일반적으로 군의 구조를 갖지 않으며, 만약 $X$가 위상군이라도 이는 일반적으로 군 준동형을 이루지 않는다. (예를 들어, $X=G$가 이산 유한군일 때, $h_0$는 군환으로 가는 단사 함수 $G\hookrightarrow \mathbb{Z}[G]$에 대응하며, 이는 군 준동형이 아니다.)

함자성

$n\ge 2$일 경우, 후레비치 준동형은 함자

${\pi }_n(-):{\mathrm{Top}}_{\bullet }\to \mathrm{Ab}$

${\mathrm{H}}_n(-;\mathbb{Z}):{\mathrm{Top}}_{\bullet }\to \mathrm{Ab}$

사이의 자연 변환 $h_n:{\pi }_n\Rightarrow {\mathrm{H}}_n(-;\mathbb{Z})$을 이룬다.

따라서 축소 현수 함자 $\mathrm{\Sigma }$에 대하여 다음 사각형이 가환한다.

$\begin{array}{ccc}{\pi }_n(X)& \stackrel{h}{\to }& {\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})\\ \mathrm{\Sigma }\downarrow & & \downarrow \mathrm{\Sigma }\\ {\pi }_{n+1}(\mathrm{\Sigma }X)& \underset{h}{\overset{}{\to }}& {\mathrm{H}}_{n+1}(\mathrm{\Sigma }X;\mathbb{Z})\end{array}$

$n=1$ 또는 $n=0$인 경우에는 호모토피 군이 아벨 군이 아니므로 함자의 공역을 $\mathrm{Ab}$ 대신 각각 $\mathrm{Grp}$ 또는 $\mathrm{Set}$로 놓아야 한다.

낮은 차수의 후레비치 준동형

$n=0$일 경우, ${\pi }_0(X)$는 $X$의 경로 연결 성분의 집합이며, ${\mathrm{H}}_0(X;\mathbb{Z})$는 $X$의 경로 연결 성분들의 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 자유 아벨 군으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 단사 함수이다.

$n=1$이고 $X$가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 준동형은 아벨화이다. 즉, ${\mathrm{H}}_1(X;\mathbb{Z})$는 기본군 ${\pi }_1(X)$의 아벨화이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 전사 함수이다.

$n>1$일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 전사 함수도, 단사 함수도 아니다.

n-연결 공간 위의 후레비치 준동형

후레비치 정리에 따르면, 임의의 위상 공간 $X$ 위의 후레베치 준동형

$h_n:{\pi }_n(X)\to {\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})$

에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 $X$가 경로 연결 공간(즉, 0-연결 공간)이며 $n=1$이라면, $h_n$은 아벨화 준동형이다.
• 만약 $X$가 $(n-1)$-연결 공간이며 $n\ge 2$이라면, $h_n$은 아벨 군끼리의 동형 사상이다.
• 만약 $X$가 $(n-2)$-연결 공간이며 $n\ge 3$라면, $h_n$은 아벨 군끼리의 단사 군 준동형이다. 그러므로, ${\mathrm{H}}_n(X;\mathbb{Z})$는 ${\mathrm{\pi }}_n(X)$의 몫군이다.

예

$n$개의 원들의 쐐기합 $({𝕊}^1{)}^{\vee n}$을 생각하자.

• $({𝕊}^1{)}^{\vee n}$의 기본군은 자유군 $⟨a_1,a_2,\dots ,a_n⟩$이며, 그 생성원 $a_i$는 모두 $n$개이며 각 원에 대응한다.
• $({𝕊}^1{)}^{\vee n}$의 1차 호몰로지 군은 자유 아벨 군 ${\mathbb{Z}}^{\oplus n}$이며, 그 $n$개의 생성원 역시 각 원에 대응한다.

이 경우, 후레비치 준동형 $h_1:{\pi }_1\to {\mathrm{H}}_1$은 아벨화 사상이며, 각 원에 대응하는 자유군의 생성원을 같은 원에 대응하는 자유 아벨 군 생성원에 대등시킨다.

역사

1935년 비톨트 후레비치가 후레비치 준동형을 정의하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab