끈 군

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학과 이론물리학에서 끈 군(-群, 틀:Llang)은 스핀 군과 유사하지만, 3차 호모토피 군이 자명한 위상군이다. 이는 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없으나, 무한 차원 프레셰 리 군으로 존재한다. 이에 대응하는 리 대수는 유한 차원의 L∞-대수로 여길 수 있다.

정의

임의의 콤팩트 단순 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에

$\mu \in {\bigwedge }^3{𝔤}^{*}$

$\mu (x,y,z)=K([x,y],z)$

를 정의할 수 있다. 여기서 $K(-,-)$는 킬링 형식이다.

끈 2-리 대수는 실수 벡터 공간으로서 다음과 같다.

$𝔰𝔱𝔯𝔦𝔫𝔤(𝔤)=ℝ[1]\oplus 𝔤$

코쥘 쌍대성에 따라서, 이에 대응되는 등급 가환 미분 등급 대수는 다음과 같다.

$ℝ[y]\otimes \bigwedge {𝔤}^{*}$

$\mathrm{deg}y=2$

$\mathrm{deg}{𝔤}^{*}=1$

이 경우, 추가된 2차 리 미분은 다음과 같다.

$\mathrm{d}y=\mu$

이에 대하여 대응되는 위상군을 끈 군이라고 한다. 즉, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 $G$의 경우

${\pi }_0(G)={\pi }_1(G)={\pi }_2(G)=0$

${\pi }_3(G)=\mathbb{Z}$

이므로, 이는 화이트헤드 탑

$\cdots \to \mathrm{String}(G)\to G\to 0$

의 일부를 이룬다. 특히, $G=\mathrm{Spin}(n)$의 경우, 이는 직교군

${\pi }_0(\mathrm{O}(n))=\mathbb{Z}/2$

${\pi }_1(\mathrm{O}(n))=\mathbb{Z}/2$

${\pi }_2(\mathrm{O}(n))=0$

${\pi }_3(\mathrm{O}(n))=\mathbb{Z}$

의 화이트헤드 탑

$\cdots \to \mathrm{Fivebrane}(n)\to \mathrm{String}(n)\to \mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)\to \mathrm{O}(n)$

의 한 성분을 이룬다.

2-군으로서의 구성

일반적으로, 2-군은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 군 $G$
• 군 $H$
• 군 준동형 $\rho :G\to \mathrm{Aut}(H)$
• $H$계수의 $G$의 3차 코호몰로지류 $\alpha \in {\mathrm{H}}^3(G;H)$. 여기서 $H$는 $\rho$를 통하여 $G$-가군으로 간주한다.

이제,

$H=\mathrm{U}(1)$

$\rho :G\to \mathrm{Aut}(H)$

$\rho :g\mapsto {\mathrm{id}}_H$

를 생각하자. 천-사이먼스 형식으로부터, 어떤 1차원 격자

$\mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathrm{H}}^3(𝔤;𝔲(1))$

로부터 코호몰로지 사상

$\mathrm{\Lambda }\hookrightarrow {\mathrm{H}}^3(G;\mathrm{U}(1))$

을 정의할 수 있다. 따라서, 각 정수 $k$에 따라서 이 데이터로 정의되는 2-군 $G_k$를 정의할 수 있다. 그러나 이 코호몰로지류는 연속 코호몰로지가 아니므로 이는 리 군을 정의하지 못한다.틀:Rp

끈 군 $\mathrm{String}(G)$이 존재하며, 이는 짧은 완전열

$0\to K(\mathbb{Z},2)\to \mathrm{String}(G)\to G\to 0$

을 갖는다. 여기서 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(\mathbb{Z},2)$는 ${\mathbb{P}}_{ℂ}^{\mathrm{\infty }}$로 여길 수 있다. 이 위상군은 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없다.

프레셰 리 군으로서의 구성

단일 연결 단순 콤팩트 리 군 $G$에 대하여, 끈군 $\mathrm{String}(G)$는 무한 차원 프레셰 리 군으로 표현될 수 있다.

구체적으로, 임의의 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 $H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 유니터리 군 $\mathrm{PU}(H)$에 노름 위상을 주면, 이는 $\mathrm{K}(\mathbb{Z},2)$를 이룬다. 이제, 호모토피 군

$\mathbb{Z}\cong {\mathrm{H}}^3(G)$

의 생성원

$\alpha \in {\mathrm{H}}^3(G)$

을 고르면, 이를 표현하는 주다발

$\mathrm{PU}(H)\to P\to G$

를 고를 수 있다. 또한, 망각 사상

$\varphi :\mathrm{Aut}(P)\to \mathrm{Diff}(G)$

이 존재한다. 물론, 군은 스스로 위의 왼쪽 곱셈 함수

$𝖫:G\to \mathrm{Diff}(G)$

${𝖫}_g:h\mapsto gh$

를 갖는다. 즉

$\mathrm{Aut}(P)\to \mathrm{Diff}(G)\leftarrow G$

이다. 그렇다면, 끈 군은 다음과 같다.

$\mathrm{String}(G)=\{f\in \mathrm{Aut}(P):\mathrm{\exists }g\in G:\varphi (f)={𝖫}_g\}$

프레셰 교차 가군으로서의 구성

끈군은 프레셰 리 군으로 구성된 교차 가군으로 구성될 수도 있다. 이 교차 가군 $(G^{\prime },H,\rho ,d)$은 구체적으로 다음과 같다.

• $G^{\prime }=\mathrm{P}G$ (매끄러운 함수 $[0,2\pi ]\to G$의 점별 곱셈군인 프레셰 리 군)
• $H={\hat{\mathrm{\Omega }}}_{k}G$ ($k$차 아핀 리 대수에 대응되는 프레셰 리 군)
• $\rho :G^{\prime }\to \mathrm{Aut}(H)$는 경로군의, 고리군에 대한 자연스러운 켤레 작용을 아핀 리 대수로 올린 것이다.
• $d:H\to G^{\prime }$는 아핀 리 군에서 고리군으로 가는 사영 사상 ${\hat{\mathrm{\Omega }}}_{k}G\twoheadrightarrow \mathrm{\Omega }G$과, 고리군에서 경로군으로 가는 포함 사상 $\mathrm{\Omega }G\hookrightarrow PG$을 합성한 것이다.

같이 보기

• 제르브

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용