부분 대상 분류자

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 부분 대상 분류자(部分對象分類子, 틀:Llang)는 주어진 대상의 각각의 부분 대상들을, 특정한 대상 $2$로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. 집합론에서의 지시 함수의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스에서 항상 존재한다.

정의

범주 $𝒞$가 끝 대상 $1$을 갖는다고 하자. $𝒞$의 부분 대상 분류자는 다음 조건을 만족시키는, 대상 $2$ 및 사상 $\mathrm{\top }:1\to 2$의 순서쌍이다. (대상 $2$는 문헌에 따라 $\mathrm{\Omega }$로 표기하기도 한다.)

• 모든 단사 사상 $\iota :X\hookrightarrow Y$에 대하여, $Y\stackrel{\iota }{\leftarrow }X\to 1$이 $Y\stackrel{{\chi }_{\iota }}{\to }2\stackrel{\mathrm{\top }}{\leftarrow }1$의 당김이 되는 사상 ${\chi }_{\iota }:Y\to 2$이 유일하게 존재한다.

여기서 사상 ${\chi }_{\iota }$를 $\iota$의 지시 사상(틀:Llang)이라고 한다.

유한 완비 범주 $𝒞$ 속의 대상 $2$ 및 사상 $\mathrm{\top }:1\to 2$가 다음 조건을 만족시킨다면, $(2,\mathrm{\top })$을 강한 부분 대상 분류자(強-部分對象分類子, 틀:Llang)라고 한다.

• 모든 강한 단사 사상 $\iota :X\hookrightarrow Y$에 대하여, $Y\stackrel{\iota }{\leftarrow }X\to 1$이 $Y\stackrel{{\chi }_{\iota }}{\to }2\stackrel{\mathrm{\top }}{\leftarrow }1$의 당김이 되는 사상 ${\chi }_{\iota }:Y\to 2$이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상은 부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

예

각종 토포스에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.

토포스	부분 대상 분류자
집합의 토포스 $\mathrm{Set}$	두 개의 원소를 가진 집합 $\{{\bullet }_1,{\bullet }_2\}$
유한 집합의 토포스 $\mathrm{FinSet}$	두 개의 원소를 가진 집합 $\{{\bullet }_1,{\bullet }_2\}$
위상 공간 $(X,𝒰)$ 위의 (집합) 층의 토포스 $\mathrm{Sh}(X)$	열린집합 $V\subset X$에 대하여, 열린 부분 집합들의 층 $𝒰(V)=\{U\cap V|U\in 𝒰\}$
작은 범주 $𝒞$ 위의 준층의 토포스 ${\mathrm{Set}}^{{𝒞}^{\mathrm{op}}}$	대상 $C\in 𝒞$에 대하여, $C$ 위의 모든 체들의 집합의 준층 $\mathrm{Sieve}(C)$
토포스 $𝒯$ 및 대상 $X\in 𝒯$에 대하여, $𝒯/X$	$𝒯$의 부분 대상 분류자 $2_{𝒯}\in 𝒯$에 대하여, 사영 ${\mathrm{proj}}_2:2_{𝒯}\times X\twoheadrightarrow X$

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:Eom