그로텐디크 위상

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학과 범주론에서 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, 틀:Llang)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, 틀:Llang)로 일반화할 수 있다.

그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(틀:Llang)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다.

정의

그로텐디크 위상은 주어진 대상 위의 "덮개"가 무엇인지의 데이터를 담고 있다. 그로텐디크 위상은 두 가지로 정의할 수 있다.

• 일반적인 범주에서 그로텐디크 위상은 체의 개념을 통해 정의되며, 그로텐디크 위상은 어떤 체들이 덮개체(틀:Llang)를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다.
• 만약 범주가 당김을 가진다면, 체 대신 단순히 사상들의 집합을 사용할 수 있다. 이 경우, 그로텐디크 (준)위상은 어떤 사상 집합들이 덮개를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다. 이 정의는 더 직관적이지만, 일반적 범주에 적용할 수 없어 덜 일반적이다.

두 정의 모두, 그로텐디크 위상은 세 개의 공리들로 정의된다. 이들은 대략 다음과 같다.

• (덮개의 제한) $U$의 덮개를, $U$의 부분 $V$로 국한하여도 이는 $V$의 덮개를 이룬다.
• (덮개의 세분) $U$가 $\{U_i{\}}_{i\in I}$들로 덮히며, 덮개의 각 성분 $U_i$를 또 그 위의 덮개 $\{U_{i,j}{\}}_{j\in J_i}$로 세분한다면, 세분된 덮개 $\bigcup _{i\in I}\{U_{i,j}{\}}_{j\in J_i}$ 역시 $U$의 덮개를 이룬다.
• (자명한 덮개) 모든 대상은 스스로의 덮개이다.

그러나 이 세 공리는 덮개의 개념을 어떻게 형식화하느냐에 따라 달리 표현된다.

그로텐디크 위상을 갖춘 범주를 위치라고 한다. 작은 위치 위의 층의 범주와 동치인 범주를 그로텐디크 토포스라고 한다.

집합 위의 위상을 더 섬세함·엉성함에 따라 비교할 수 있는 것처럼, 주어진 범주 위의 그로텐디크 위상들의 모임 위에는 부분 순서가 존재한다. 즉, 같은 범주 위의 두 그로텐디크 위상에 대하여, 첫째가 둘째보다 더 섬세(틀:Llang)하다고 할 수 있다. (이는 둘째가 첫째보다 더 엉성(틀:Llang)하다는 것과 같다.) 더 섬세한 위상에서는

• 더 많은 수의 덮개들이 존재한다.
• 준층이 층을 이루는 것이 더 어렵다. (이는 각 덮개에 대하여 층의 짜깁기 공리가 성립하여야 하기 때문이다.)

반대로, 더 엉성한 위상에서는

• 더 적은 수의 덮개들이 존재한다.
• 준층이 층을 이루는 것이 더 쉽다.

체를 통한 정의

국소적으로 작은 범주 $𝒞$ 위의 그로텐디크 위상(틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

• 각 대상 $U\in 𝒞$에 대하여, $U$에 대한 체들의 모임 $𝔍(U)\subseteq {\mathrm{Sieve}}_{𝒞}(U)$. 이를 $U$의 덮개체(틀:Llang)의 모임이라고 한다.

이들은 다음과 같은 공리들을 따라야 한다. 임의의 $U\in 𝒞$에 대하여,

• (덮개의 제한) 덮개체의 제한은 덮개체이다. 즉, 모든 덮개체 $S\subseteq \mathrm{hom}(-,U)$ 및 사상 $f:V\to U$에 대하여, $S$를 $V$로 제한하여 얻는 체 $f^{*}S\subseteq \mathrm{hom}(-,V)$ 역시 덮개체이다. 여기서 제한체는 구체적으로 $g\in f^{*}S\stackrel{\mathrm{def}}{⟺}f\circ g\in S$이다.
• (덮개의 세분) 덮개체의 각 성분의 덮개체를 짜기워 더 섬세한 덮개체를 얻을 수 있다. 즉, $U$ 위의 체 $T\subseteq \mathrm{hom}(-,U)$가 덮개체가 될 충분 조건은 어떤 덮개체 $S\in 𝔍(U)$ 및 모든 대상 $V\in 𝒞$ 및 모든 $f\in S(V)\subseteq \mathrm{hom}(V,U)$에 대하여, $f^{*}T\subseteq \mathrm{hom}(-,V)$가 덮개체가 되는 것이다.

  $W_{i,j}\stackrel{\in f^{*}T}{\to }V\stackrel{f\in S}{\to }U$

• (자명한 덮개) 요네다 체 $\mathrm{hom}(-,U)$는 덮개체이다.

$𝒞$ 위의 두 그로텐디크 위상 $𝔍$, ${𝔍}^{\prime }$에 대하여, 만약 모든 $U\in 𝒞$에 대하여 $𝔍(U)\subseteq {𝔍}^{\prime }(U)$라고 한다면, $𝔍$가 ${𝔍}^{\prime }$보다 더 엉성하며, 반대로 ${𝔍}^{\prime }$이 $𝔍$보다 더 섬세하다고 한다.

사상 집합을 통한 정의

체는 함자 조건에 의하여, 매우 많은 수의 사상들을 포함한다. 이를 대신하여, 주어진 체를 생성하는 더 적은 수의 사상만으로 그로텐디크 위상을 정의할 수 있다. 이러한 데이터를 그로텐디크 준위상이라고 한다. (그러나 서로 다른 두 그로텐디크 준위상이 같은 그로텐디크 위상을 생성할 수 있다.)

국소적으로 작은 범주 $𝒞$ 위의 그로텐디크 준위상(Grothendieck準位相, 틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

• 각 대상 $U\in 𝒞$에 대하여, $U$로 향하는 사상들의 집합들의 모임 $𝔇(U)$. $𝔇(U)$의 원소를 $U$의 덮개라고 한다.

이 데이터 또한 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.

• (덮개의 제한) 임의의 사상 $f:V\to U$ 및 $U$의 덮개 $\{f_i{\}}_{i\in I}$에 대하여, 이를 $V$에 제한하여 얻은 $\{f_i{\times }_{U}V:U_i{\times }_{U}V\to V\}$는 $V$의 덮개이다. 또한, 이 정의에서 등장하는 당김 $\{U_i{\times }_{U}V{\}}_{i\in I}$가 항상 존재한다.

  $\begin{array}{ccc}{U}_i{\times }_{U}V& \stackrel{f_i{\times }_{U}V}{\to }& V\\ \downarrow & & \downarrow \\ U_i& \to f_i& U\end{array}$

• (덮개의 세분) 임의의 대상 $U\in 𝒞$ 및 덮개 $\{f_i:U_i\to U{\}}_{i\in I}\in 𝔇(U)$ 및 덮개 $\{f_{i,j}:U_{i,j}\to U_i{\}}_{j\in J_i}\in 𝔇(U_i)$에 대하여, $\{f_i\circ f_{i,j}\}$ 역시 $U$의 덮개이다.

  $U_{i,j}\stackrel{f_{i,j}}{\to }{U}_i\stackrel{f_i}{\to }U$

• (자명한 덮개) 임의의 동형 사상 $i:U\to V$에 대하여, $\{i\}$는 $V$의 덮개이다.

국소적으로 작은 범주 $𝒞$ 위의 그로텐디크 준위상 $𝔇$가 주어졌다면, 이에 대응하는 그로텐디크 위상 ${𝔍}_{𝔇}$를 정의할 수 있다. ${𝔍}_{𝔇}$에서 $U\in 𝒞$의 덮개체들은 적어도 하나의 덮개를 포함하는 체들이다.

$S\in {𝔍}_{𝔇}(U)⟺\mathrm{\exists }d\in 𝔇(U):S(U)\supset d\ne \varnothing$

로비어-티어니 위상

로비어-티어니 위상(틀:Llang)의 개념은 그로텐디크 위상의 개념의 일반화이다. 로비어-티어니 위상은 임의의 토포스 위에 정의된다. 작은 범주 $𝒞$ 위의 준층의 범주 $\mathrm{PSh}(𝒞)$는 토포스를 이루며, 그 위의 로비어-티어니 위상은 $𝒞$ 위의 그로텐디크 위상과 동치이다.

토포스 $𝒯$ 위의 부분 대상 분류자 $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\top })\in 𝒯$가 주어졌다고 하자. $𝒯$ 위의 로비어-티어니 위상 $j:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$은 다음 조건들을 만족시키는 사상이다.

• 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

  $\begin{array}{ccc}1& \stackrel{\mathrm{\top }}{\to }& \mathrm{\Omega }\\ & \mathrm{\top }\searrow & \downarrow j\\ & & \mathrm{\Omega }\end{array}$

• 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

  $\begin{array}{ccc}\mathrm{\Omega }& \stackrel{j}{\to }& \mathrm{\Omega }\\ & j\searrow & \downarrow j\\ & & \mathrm{\Omega }\end{array}$

• 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

  $\begin{array}{ccc}\mathrm{\Omega }& \stackrel{\wedge }{\to }& \mathrm{\Omega }\\ & j\times j\searrow & \downarrow j\\ \mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }& \to \wedge & \mathrm{\Omega }\end{array}$

부분 대상 분류자의 정의에 의하여, 로비어-티어니 위상 $j:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$을 고르는 것은 $\mathrm{\Omega }$의 부분 대상 $J\hookrightarrow \mathrm{\Omega }$을 고르는 것과 같다.

작은 범주 $𝒞$ 위의 준층 범주 $\mathrm{PSh}(𝒞)$에서 부분 대상 분류자 $\mathrm{Sieve}$는 대상 $U\in 𝒞$에 대하여 그 위의 모든 체들의 집합 $\mathrm{Sieve}(U)$를 대응시킨다. 따라서 부분 대상 분류자 $\mathrm{Sieve}$의 부분 대상 $J$는 각 대상 $U\in 𝒞$에 대하여, 그 위의 체들의 집합 $J(U)\subseteq \mathrm{Sieve}(U)$을 대응시키는 준층이다. 이것이 준층을 이룬다는 것은 덮개체의 집합이 당김에 대하여 닫혀 있다는 조건이며, 이는 그로텐디크 위상의 세 공리 가운데 하나이다. 그로텐디크 위상의 나머지 두 공리는 로비어-티어니 위상의 공리들과 동치이다.

예

이산 위상과 비이산 위상

범주 $𝒞$ 위의 이산 위상(틀:Llang)은 모든 체가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 공역을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 섬세한 위상이다.

범주 $𝒞$ 위의 비이산 위상(틀:Llang)은 덮개체가 $𝔍(U)=\{\mathrm{hom}(-,U)\}$인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가 $𝔇(U)=\{{\mathrm{id}}_U\}$인 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 엉성한 위상이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서 모든 준층은 층을 이룬다.

표준 위상

임의의 국소적으로 작은 범주 $𝒞$ 위의 준층들의 모임 $𝔉$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $𝔉$들이 모두 층을 이루는, 가장 섬세한 그로텐디크 위상이 존재한다.틀:Rp

표현 가능 준층은 임의의 대상 $U\in 𝒞$에 대하여 $\mathrm{hom}(-,U)$의 꼴의 준층이다. 모든 표현 가능 준층이 층을 이루는 가장 섬세한 그로텐디크 위상을 표준 위상(틀:Llang)이라고 한다. 표준 위상보다 더 엉성한 위상을 준표준 위상(틀:Llang)이라고 한다. 즉, 준표준 위상은 모든 요네다 준층이 층을 이루는 위상이다.

그로텐디크 토포스 $𝒯$ 위에 표준 위상을 부여한다면, $𝒯$ 위의 모든 층은 표현 가능하다. 즉, 이 경우 $𝒯$와 $\mathrm{Sh}(𝒯)$는 서로 동치이다.

조각 범주

국소적으로 작은 범주 $𝒞$ 및 대상 $B\in 𝒞$가 주어졌다고 하자.

$𝒞$ 속의 임의의 사상 $u:U\to B$ 및 체 $S\subseteq \mathrm{hom}(-,U)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 $𝒞/B$의 대상 $u$ 위에 체 $S/B$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$S/B=\{\begin{array}{ccc}V& \stackrel{f}{\to }& U\\ & v\searrow & \downarrow u\\ & & B\end{array}:f\in S\}$

$𝒞$ 위의 그로텐디크 위상 $𝔍$가 주어졌을 때, 각 $u\in 𝒞/B$에 대하여

$(𝔍/B)(u)=\{S/B:S\in 𝔍(U)\}$

로 정의하면, $𝔍/B$는 $𝒞/B$ 위의 그로텐디크 위상을 이룬다. 이를 조각 범주 $𝒞/B$ 위의 유도 위상(틀:Llang)이라고 한다.

위상 공간의 작은 위치

위상 공간 $X$의 열린집합들의 범주 $\mathrm{Open}(X)$를 생각하자. 이 경우, 대상은 열린집합들이고, 사상은 포함 관계 ${\iota }_{UV}:U\hookrightarrow V$들이다. 즉, 임의의 $U,V\in \mathrm{Open}(X)$에 대하여, $\mathrm{hom}(U,V)$는 공집합이거나 아니면 ${\iota }_{UV}:U\hookrightarrow V$ 하나의 원소만을 포함한다.

열린집합 범주에서의 체

$\mathrm{Open}(X)$에서 열린집합 $U\in \mathrm{Open}(X)$ 위의 체는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합 $𝒮\subset \mathrm{Open}(X)$으로 주어진다.

• (상계) 모든 $V\in 𝒮$에 대하여, $V\subseteq U$
• (하향 닫힘) 모든 $V,W\in \mathrm{Open}(X)$에 대하여, 만약 $V\subseteq W$이며 $W\in 𝒮$라면 $V\in 𝒮$

구체적으로, 요네다 함자의 부분 함자 $S:\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$가 주어진다면,

$𝒮=\{V\in \mathrm{Open}(X):S(V)\ne \varnothing \}$

이다. 즉, 열린집합의 범주에서 $U$ 위의 체는 하향으로 닫힌 $U$의 부분 집합들의 모임과 같다.

$V\subset U$이며, $U$ 위의 체 $𝒮$가 주어졌다고 하자. 포함 관계 $\iota :V\hookrightarrow U$에 따른 체의 당김 ${\iota }^{*}𝒮$는 다음과 같은 체이다.

${\iota }^{*}𝒮=\{W\in 𝒮:W\subseteq V\}$

열린집합 범주에서의 그로텐디크 준위상

$\mathrm{Open}(X)$에서는 모든 당김이 존재하며, 열린집합의 교집합과 같다. 즉, $V,W\subseteq U$일 때, $V{\times }_{U}W=V\cap W$이다. 따라서, 사상 집합을 통한 정의를 사용할 수 있다.

• (덮개의 국한) $\{U_i{\}}_{i\in I}$가 열린집합 $U$의 덮개이고, $V\subseteq U$라면, $\{U_i\cap V{\}}_{i\in I}$는 $V$의 덮개이다.
• (덮개의 세분) 열린집합 $U$의 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 및 각 $i\in I$에 대하여 $U_i$의 덮개 $\{U_{i,j}{\}}_{j\in J_i}$가 주어졌을 때, $\{U_{i,j}{\}}_{i\in I,j\in J_i}$는 $U$의 덮개이다.
• (자명한 덮개) $\{U\}$는 $U$의 덮개이다.

즉, 이는 일반적인 열린 덮개의 성질을 공리화한 것이다.

열린집합 범주에서의 그로텐디크 위상

$\mathrm{Open}(X)$에서 그로텐디크 위상의 공리들을 번역하면 다음과 같다.

• (덮개체의 올곱) $V\subseteq U$이며, $U$의 덮개체 $\{U_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌다면, $\{U_i\cap V{\}}_{i\in I}$는 $V$의 덮개체이다.
• (덮개체의 합성) $U$의 덮개체 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 및 $U$ 위의 임의의 체 $\{T_j{\}}_{j\in J}$가 주어졌다고 하자. 임의의 $i\in I$에 대하여 $\{T_j\cap U_i{\}}_{j\in J}$가 $U_i$의 덮개체를 이룬다고 하자. 그렇다면 $\{T_j{\}}_{j\in J}$는 $U$의 덮개체이다.
• (자명한 덮개체) $\{V:V\subseteq U\}$는 $U$의 덮개체이다.

$\mathrm{Open}(X)$ 위에, 덮개체들을 열린 덮개의 하향 폐포들로 고른다면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를 $X$의 작은 위치(틀:Llang)라고 한다. 이 위치는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.

위상 공간의 큰 위치

위상 공간과 연속 함수들의 범주 $\mathrm{Top}$를 생각하자. 이 위에 다음과 같은 그로텐디크 위상이 존재한다. 위상 공간 $X\in \mathrm{Top}$의 덮개 $\mathrm{\Phi }=\{\varphi :\mathrm{dom}\varphi \to X{\}}_{\varphi \in \mathrm{\Phi }}$는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수들의 집합이다.

$\bigcup _{\varphi \in \mathrm{\Phi }}\varphi (\mathrm{dom}\varphi )=X$

이는 준표준 위상을 이룬다.

위상 공간 $X\in \mathrm{Top}$가 주어졌을 때, $\mathrm{Top}/X$는 $X$로 가는 사상(연속 함수)들을 대상으로 하는 범주이다. 이 경우, $\mathrm{Top}/X$의 두 대상 (연속 함수)

${\varphi }_1:Y_1\to X$

${\varphi }_2:Y_2\to X$

사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수 $\chi :Y_1\to Y_2$이다.

${\varphi }_1={\varphi }_2\circ \chi$

이 경우, $\mathrm{Top}/X$는 $\mathrm{Top}$로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 $\mathrm{Top}/X$를 $X$의 큰 위치(틀:Llang)라고 한다.

스킴의 범주의 그로텐디크 위상

틀:본문 스킴들의 범주 $\mathrm{Sch}$ 위에는 다음과 같은 특별한 그로텐디크 위상들이 존재한다.

• 자리스키 위상 $\mathrm{Zar}$. 이는 스킴 위의 고전적인 위상이나 매우 엉성하다.
• 니스네비치 위상. 이는 예브세이 니스네비치(틀:Llang)가 도입하였으며, 대수적 K이론과 모티브 이론에서 사용된다.
• 에탈 위상 $\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}$. 이 경우, 덮개는 에탈 사상을 통한 덮개이다. 에탈 코호몰로지를 정의할 때 쓰인다.
• 평탄 위상(틀:Llang)
  • fppf 위상
  • fpqc 위상

이들은 섬세함에 따라 다음과 같이 전순서를 이룬다. (즉, 왼쪽으로 갈 수록 더 엉성한 위상이며, 오른쪽으로 갈수록 더 섬세한 위상이다.)

비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상

이들 모두 준표준 위상이다. 스킴 $X$에 대하여, 그 위의 조각 범주 $\mathrm{Sch}/X$ 위에는 이 위상들의 유도 위상들을 부여할 수 있다.

각 표수 $p$에 대하여, 유한체 ${𝔽}_p$ 또는 $\mathbb{Q}$ 위의 분리 거듭제곱 농화(-濃化, 틀:Llang)들의 범주 위에, $\mathrm{Sch}$ 위의 위상 가운데 하나를 사용하여 위상을 줄 수 있다. 이러한 위치들을 무한소 위치(틀:Llang)라고 하며, 결정 코호몰로지(틀:Llang)를 정의하는 데 쓰인다.

역사

1949년에 앙드레 베유는 유한체 위의 대수다양체에 대한 베유 추측을 제시하였고, 이들을 증명하려면 베유 코호몰로지라는 새로운 코호몰로지 이론이 필요하다고 제안하였다. 그러나 베유 자신은 베유 코호몰로지를 정의하는 데 실패하였다.

1958년에 장피에르 세르는 베유 코호몰로지를 정의하기 위하여 등자명 피복(틀:Llang)의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 에탈 사상의 개념과 관련돼 있다.) 세르는 이 개념을 1958년 4월 28일 세미나에서 강의하였고, 이를 청강하던 알렉산더 그로텐디크는 이를 사용하여 베유 코호몰로지를 성공적으로 정의할 수 있다고 확신하였다. 그러나 세르는 그로텐디크와 달리 이에 대하여 회의적이었다고 한다.틀:Rp

1960년대 초에 그로텐디크는 에탈 사상을 사용하여, 베유 코호몰로지의 최초의 예인 에탈 코호몰로지 및 에탈 기본군 등을 정의하였다. 이를 정의하기 위하여 그로텐디크는 고전적 위상 공간의 개념을 버리고 대신 위치(그로텐디크 위상을 갖춘 범주)의 개념을 도입하였다. 1961년 가을에 그로텐디크는 하버드 대학교를 방문하여 마이클 아틴 · 오스카 자리스키 · 데이비드 멈퍼드와 토론하였고, 아틴은 이듬해 봄에 위치에 대하여 강의하였다. 아틴의 강의록은 곧 출판되었으며, 이것이 그로텐디크 위상을 다루는 최초의 문헌이다. 이후 위치와 그로텐디크 위상의 이론은 《마리 숲 대수기하학 세미나》(틀:Llang) 3권(1970년) ·4권(1972년)에서 자세하게 다뤄졌다.

그로텐디크는 위치와 그로텐디크 위상의 개념으로부터, 그로텐디크 토포스(위치 위의 층 범주와 동치인 범주)의 개념을 정의하였다. 훗날 그로텐디크는 자신의 회고록에서 위치의 개념이 단지 "토포스라는 핵심적인 개념의 기술적, 임시적 형태"(틀:Llang)틀:Rp에 불과하다고 평했다.

1970년 세계 수학자 대회에서 프랜시스 윌리엄 로비어(틀:Llang)와 마일스 티어니(틀:Llang)는 그로텐디크 위상의 개념을 일반화한 로비어-티어니 위상의 개념을 발표하였다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
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  • 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 층 (수학)
• 토포스