상수층

틀:위키데이터 속성 추적 층 이론에서, 상수층(常數層, 틀:Llang)은 모든 줄기가 같은 층이다.

정의

위치 $X$ 및 집합 $S$에 대하여, $S$값을 갖는 상수 준층(틀:Llang)은 다음과 같은 함자 $X^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$이다.

• $X$의 모든 대상 $U$는 $S$로 대응된다.
• $X$의 모든 사상은 $S$의 항등 함수 ${\mathrm{id}}_S$로 대응된다.

위치 $X$ 및 집합 $S$에 대하여, $S$값을 갖는 상수층 $\underset{\_}{S}$은 상수 준층의 층화이다.

덮개의 개념이 존재하는 위치 $X$ 위의 층 $ℱ$에 대하여, 만약 $X$의 모든 대상 $U\in \mathrm{Ob}(X)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $U$의 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$가 존재한다면, $ℱ$를 국소 상수층(틀:Llang)이라고 한다.

• 모든 $i\in I$에 대하여, $ℱ{|}_{U_i}$는 상수층이다. 즉, $ℱ{|}_{U_i}=\underset{\_}{S_i}$인 집합 $S_i$가 존재한다.

성질

만약 $X$가 위상 공간일 경우, $\underset{\_}{S}$는 ($S$에 이산 위상을 주었을 때) 연속 함수 $X\to S$들의 층이다. 이 경우, $\underset{\_}{S}$의 모든 점에서의 줄기는 $S$이다.

예

그로텐디크 토포스 $\mathrm{Sh}(X)$에서, 자연수 대상은 자연수의 집합 $\mathbb{N}$의 값을 갖는 상수층 $\underset{\_}{\mathbb{N}}$이다.

상수층 $\underset{\_}{\mathbb{Z}}$에 대한 가군층은 아벨 군의 층과 같다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

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