모나드 (범주론)

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 범주론에서 모나드(틀:Llang)는 내부 함자 범주의 모노이드 대상이다. 폐포연산과 대수 구조 다양체의 공통적인 일반화이다.

정의

$𝒞$가 범주라고 하자. 그렇다면 자기 함자 $𝒞\to 𝒞$들을 대상으로 하고, 이들 사이의 자연 변환들을 사상으로 하는 자기 함자 범주 $\mathrm{End}(𝒞)$를 생각하자. $\mathrm{End}(𝒞)$는 모노이드 범주이며, 따라서 $\mathrm{End}(𝒞)$ 속의 모노이드 대상을 생각할 수 있다. $\mathrm{End}(𝒞)$의 모노이드를 $𝒞$의 모나드라고 한다.

구체적으로, 모나드는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

• 내부 준동형 함자 $T:C\to C$
• (항등원) 자연 변환 $\eta :1_C\Rightarrow T$ ($1_C$는 상수 함자)
• (합성) 자연 변환 $\mu :T^2\Rightarrow T$

이들은 임의의 대상 $A\in 𝒞$에 대하여 다음 세 그림들을 가환되게 하여야 한다.

• (결합 법칙) 임의의 대상 $A\in 𝒞$에 대하여, $T{\mu }_A\circ {\mu }_A={\mu }_{TA}\circ {\mu }_A$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccc}TTTA& \stackrel{T\mu }{\to }& TTA\\ \mu \downarrow & & \downarrow \mu \\ TTA& \underset{\mu }{\overset{}{\to }}& TA\end{array}$

• (항등원의 성질) 임의의 대상 $A\in 𝒞$에 대하여, ${\eta }_{TA}\circ {\mu }_A=T{\eta }_A\circ {\mu }_A={\mathrm{id}}_A$. 즉, 다음 두 그림이 가환한다.

$\begin{array}{ccc}TA& \stackrel{\eta }{\to }& TTA\\ & \mathrm{id}\searrow & \downarrow \mu \\ & & TA\end{array}\begin{array}{ccc}TA& \stackrel{T\eta }{\to }& TTA\\ & \mathrm{id}\searrow & \downarrow \mu \\ & & TA\end{array}$

모나드 위의 대수

모나드 $T:𝒞\to 𝒞$ 위의 대수(틀:Llang) $(A,\mathrm{eval})$는 다음과 같은 순서쌍이다.

• $A\in 𝒞$는 $𝒞$의 대상이다.
• $\mathrm{ev}:TA\to A$는 $𝒞$의 사상이다.

이는 다음 두 그림들을 가환하게 만들어야만 한다.

$\begin{array}{ccccc}TTA& \stackrel{\mu }{\to }& TA& \stackrel{\eta }{\leftarrow }& A\\ T\mathrm{ev}\downarrow & & \downarrow \mathrm{ev}& \swarrow \mathrm{id}\\ TA& \underset{\alpha }{\overset{}{\to }}& A\end{array}$

모나드 $T$ 위의 두 대수 $(A,{\mathrm{eval}}_A)$, $(B,{\mathrm{eval}}_B)$ 사이의 준동형 $f:A\to B$는 다음 그림을 가환하게 만드는 $𝒞$-사상이다.

$\begin{array}{ccc}TA& \stackrel{Tf}{\to }& TB\\ {\mathrm{eval}}_A\downarrow & & \downarrow {\mathrm{eval}}_B\\ A& \underset{f}{\overset{}{\to }}& B\end{array}$

모나드 $T$ 위의 대수들과 그 사이의 준동형들의 범주를 $T$의 에일렌베르크-무어 범주(틀:Llang)라고 하며, ${𝒞}^T$로 표기한다.

모나드에 대응하는 수반 함자

수반 함자로부터 항상 모나드를 정의할 수 있다. 그 역 역시 항상 성립한다. 즉, 범주 $𝒞$ 위의 모나드 $(T,\eta ,\mu )$로부터 수반 함자를 정의할 수 있다. 사실, 이는 여러 가지로 가능하다. 범주 $\mathrm{Adj}(𝒞,T)$를 다음과 같이 정의하자.

• $\mathrm{Adj}(𝒞,T)$의 대상은 $T$를 유도하는 수반 함자이다. 즉, 수반 함자 $(F,G,e,ϵ)$ ($F:𝒞\to 𝒟:G$) 가운데, $(G\circ F,e,G\circ ϵ\circ F)=(T,\eta ,\mu )$인 것들이다.
• $\mathrm{Adj}(𝒞,T)$의 사상은 수반 함자 사이의 사상 가운데, $𝒞$ 위의 함자가 항등 함자인 것들이다.

그렇다면, $\mathrm{Adj}(𝒞,T)$는 적어도 다음 두 대상을 포함한다.

• 클라이슬리 범주(틀:Llang) ${𝒞}^T$. 이는 $\mathrm{Adj}(𝒞,T)$의 시작 대상이다.
• 에일렌베르크-무어 범주(틀:Llang). 이는 $\mathrm{Adj}(𝒞,T)$의 끝 대상이다.

클라이슬리 범주

범주 $𝒞$ 위의 모나드 $(T,\eta ,\mu )$의 클라이슬리 범주 ${𝒞}_T$는 다음과 같은 범주이다.

• ${𝒞}_T$의 대상은 $𝒞$의 대상과 같다.
• ${𝒞}_T$의 사상 $X\to Y$는 $𝒞$ 속의 사상 $X\to TY$이다.
• ${𝒞}_T$에서 사상의 합성은 다음과 같다. 임의의 $f\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,TY)={\mathrm{hom}}_{{𝒞}_T}(X,Y)$, $g:{\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,TZ)={\mathrm{hom}}_{{𝒯}_C}(Y,Z)$에 대하여,

  $g{\circ }_{T}f={\mu }_Z\circ Tg\circ f\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,TZ)={\mathrm{hom}}_{{𝒞}_T}(X,Z)$

• ${𝒞}_T$에서의 항등 사상은 모나드 항등원이다.

  ${\mathrm{id}}_{X_T}={\eta }_X\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,TX)={\mathrm{hom}}_{{𝒞}_T}(X,X)$

이 경우, 자연스럽게 함자

$F:𝒞\to {𝒞}_T$

$F:X\mapsto X$

$F:(f:X\to Y)\mapsto ({\eta }_Y\circ f)$

및

$G:{𝒞}_T:𝒞$

$G:X\mapsto X$

$G:(f:X\to TY)\mapsto {\mu }_Y\circ Tf$

를 정의할 수 있다. 이들은 수반 함자를 이룬다.

$F⊣G$

또한

$T=G\circ F$

이므로 $(T,\eta ,\mu )$는 수반 $(F,G)$에 대응하는 모나드이다. 클라이슬리 범주의 원소는 보편대수학의 자유 대수를 일반화하는 것으로 생각할 수 있다.

클라이슬리 범주는 스위스의 수학자 하인리히 클라이슬리(틀:Llang, 1930~2011)가 도입하였다.

에일렌베르크-무어 범주

범주 $𝒞$ 위의 모나드 $(T,\eta ,\mu )$의 에일렌베르크-무어 범주 ${𝒞}^T$는 $T$ 위의 대수와 준동형들의 범주이다. 이에 대하여, 다음과 같은 망각 함자를 정의할 수 있다.

$G:{𝒞}^T\to 𝒞$

$G:(A,{\mathrm{eval}}_A)\mapsto A$

$G:(f:(A,{\mathrm{eval}}_A)\to (B,{\mathrm{eval}}_B))\mapsto (f:A\to B)$

마찬가지로, 다음과 같은 자유 대수 함자를 정의할 수 있다.

$F:𝒞\to {𝒞}^T$

$F:X\mapsto (TX,{\mu }_X)$

$F:(f:X\to Y)\mapsto (Tf:(TX,{\mu }_X)\to (TY,{\mu }_Y))$

이들은 수반 함자를 이룬다.

$F⊣G$

또한

$T=G\circ F$

이므로, $(T,\eta ,\mu )$ 역시 $(F,G)$에 대응하는 모나드이다.

에일렌베르크-무어 범주는 사무엘 에일렌베르크와 존 콜먼 무어가 도입하였다.

모나드 함자

수반 함자 $F:𝒞\to 𝒟:G$에서, 만약 $𝒟$가 에일렌베르크-무어 범주 ${𝒞}^{G\circ F}$와 동치라면, $G$를 모나드 함자(틀:Llang)라고 한다. 벡 모나드성 정리(틀:Llang)에 의하면, 함자 $G:𝒟\to 𝒞$가 모나드 함자가 되는 것은 다음 네 조건을 충족시키는 것과 동치이다.

• $G$은 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• $G$는 동형 사상을 반사시킨다. 즉, $𝒟$의 사상 $f$에 대하여 만약 $Gf$가 $𝒞$의 동형 사상이라면, $f$ 역시 $𝒟$의 동형 사상이다.
• $𝒟$는 모든 $G$-분할 평행쌍의 쌍대동등자를 갖는다.
• $G$는 $𝒟$의 모든 $G$-분할 평행쌍의 쌍대동등자를 보존한다.

이는 조너선 목 벡(틀:Llang, 1935~2006)이 1967년 경 증명하였다.

예

범주 $𝒞$ 위의 항등 함자 ${\mathrm{id}}_{𝒞}:𝒞\to 𝒞$는 모나드이다. 이 모나드 위의 대수는 (항등 사상이 갖추어진) $𝒞$의 대상 $(A,{\mathrm{id}}_A)$이다.

폐포

모나드의 대표적인 예는 폐포 연산자이다. 위상 공간 $X$의 집합들과 그 포함관계들의 범주 $𝒫(X)$를 생각하자. 그렇다면 폐포 연산자 $\mathrm{cl}:𝒫(X)\to 𝒫(X)$는 함자를 이루며, 또한 다음과 같은 자연 변환들이 존재한다.

• ($\eta$) $S\subset \mathrm{cl}(S)$
• ($\mu$) $\mathrm{cl}(\mathrm{cl}(S))=\mathrm{cl}(S)$

이들은 모나드 공리들을 만족시킨다. 따라서 닫힘 연산자는 $𝒫(X)$의 모나드다. 이 모나드 위의 대수는 닫힌집합이다.

대수 구조 다양체

모나드의 다른 예로, 대수 구조 다양체를 들 수 있다. 대수 구조 다양체 $V$가 주어졌을 때, 함자 $T:\mathrm{Set}\to \mathrm{Set}$를 다음과 같이 정의하자.

• 집합 $S$에 대하여, $TS$는 $S$로부터 생성되는 자유 대수이다.
• 함수 $f:S\to S^{\prime }$ 및 항 $t\in TS$에 대하여, $Tf(t)\in S^{\prime }$는 $t$ 속에 등장하는 모든 상수 $s\in S$를 $f(s)$로 치환하여 얻는 항이다.

이 경우, 다음과 같이 모나드의 구조를 줄 수 있다.

• ${\mu }_S:TTS\to TS$는 대수 $TS$ 위의 자유 대수 $TTS$에서, $TS$에서 성립하는 등식들에 대하여 몫을 취하는 준동형이다.
• ${\eta }_S:S\to TS$는 $s\in S$를, 하나의 상수로만 구성된 항으로 대응시킨다.

$T$ 위의 대수는 $V$에 속한 대수 구조이다.

수반 함자

수반 함자

$F:𝒞\to 𝒟$

$G:𝒟\to 𝒞$

$F⊣G$

$\eta :{\mathrm{id}}_{𝒟}\Rightarrow G\circ F$

$ϵ:F\circ G\Rightarrow {\mathrm{id}}_{𝒞}$

가 주어졌을 때,

$G\circ F:𝒞\to 𝒞$

는 항상 모나드를 이룬다. 이 경우, 모나드 항등 사상은 $\eta$이며, 모나드 합성 사상은

$GϵF:G\circ F\circ G\circ F\Rightarrow G\circ F$

이다.

콤팩트 하우스도르프 공간

집합 $S$에 대하여, $TS$가 $S$ 위의 모든 극대 필터들의 집합이라고 하자. 함수 $S\to S^{\prime }$에 대하여

$Tf:TS\to T{S}^{\prime }$

$Tf:𝒰\mapsto \{f(U):U\in 𝒰\}$

로 놓으면, $T:\mathrm{Set}\to \mathrm{Set}$는 함자를 이룬다.

여기에 다음과 같은 자연 변환을 정의하자.

$\eta :{\mathrm{id}}_{\mathrm{Set}}\Rightarrow T$

${\eta }_S:s\mapsto \uparrow s=\{U\subseteq 𝒮:s\in U\}$

$\mu :TT\Rightarrow T$

$V\in {\mu }_S(𝔘)⟺\uparrow V=\{ℱ\in TS:V\in ℱ\}\in 𝔘$

그렇다면 이는 집합의 범주 위의 모나드를 이룬다.

이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간과 같다. 구체적으로, $(S,\lim )$가 $T$ 위의 대수라고 하자. 그렇다면, $S$ 위에, 다음 조건을 만족시키는 위상을 줄 수 있다.

• 임의의 극대 필터 $𝒰\in TS$에 대하여, $\lim 𝒰\in S$는 $S$ 위의 위상에 따른 수렴과 일치한다.

이러한 위상은 유일하며, 또한 콤팩트 하우스도르프 위상임을 보일 수 있다.

이 모나드는 다음과 같은 수반 함자로부터 유래한다.

$|\cdot |:\mathrm{CompHaus}\to \mathrm{Set}$

$\beta :\mathrm{Set}\to \mathrm{CompHaus}$

$\beta ⊣|\cdot |$

여기서 $\mathrm{CompHaus}$는 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 함수의 범주이고, $|\cdot |$은 콤팩트 하우스도르프 공간을 그 점들의 집합으로 대응시키는 함자이며, $\beta$는 어떤 집합에 이산 위상을 부여한 뒤 그 스톤-체흐 콤팩트화를 취하는 함자이다.

역사

로제 고드망이 1958년에 ‘표준 작도’(틀:Llang)라는 이름으로 도입하였다. 이후 "삼중"(틀:Llang)이라는 이름으로 불리기도 했는데, 이는 모나드의 구성 성분 $(T,\mu ,\eta )$이 셋인 것에서 유래하였다. 이후 장 베나부(틀:Llang)는 ‘모나드’라는 용어를 도입하였고, 손더스 매클레인은 저서에서 이 용어를 사용하였다. 틀:인용문2

응용

하스켈 등 함수형 프로그래밍 언어에서 입출력 및 데이터 구조를 다룰 때 쓰인다.

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용