모노이드 대상

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 모노이드 대상(monoid對象, 틀:Llang)은 모노이드 범주에서 모노이드와 같은 성질을 가진 대상이다.

정의

$(𝒞, \otimes, I, α, λ, ρ)$ 가 모노이드 범주라고 하자. $𝒞$ 의 모노이드 대상 $(M, m, e)$ 는 다음 데이터로 이루어진다.

$M$ 은 $𝒞$ 속의 대상이다.
$m : M \otimes M \to M$ , $e : I \to M$ 는 $𝒞$ 속의 사상이다. 이들은 각각 모노이드의 이항 연산 및 항등원에 해당한다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

(결합 법칙) $m \circ (m \otimes {id}_{M}) = m \circ ({id}_{M} \otimes m) \circ α_{M, M, M}$ . (여기서 $(M \otimes M) \otimes M = M \otimes (M \otimes M)$ 로 간주한다.) 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.

\begin{matrix} (M \otimes M) \otimes M & \overset{α}{\to} & M \otimes (M \otimes M) \\ m ↓ & ↓ m \\ M \otimes M & M \otimes M \\ m ↓ & ↓ m \\ M & = & M \end{matrix}

(항등원의 존재) $m \circ (e \otimes {id}_{M}) = λ_{M}$ 이고, $m \circ ({id}_{M} \otimes e) = ρ_{M}$ 이다. 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.

\begin{matrix} I \otimes M & \overset{e}{\to} & M \otimes M & \overset{e}{\leftarrow} & M \otimes I \\ λ ↘ & ↓ m & ↙ ρ \\ M \end{matrix}

범주 $𝒞$ 위의 자기 함자 범주 $End 𝒞$ 속의 모노이드 대상은 모나드라고 한다. 아벨 군의 범주 $Ab$ 는 텐서곱과 함께 모노이드 범주를 이루며, 이 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 환의 개념과 같다.