준군

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 추상대수학과 범주론에서 준군(準群, 틀:Llang)은 군과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다.

정의

대수적 정의

준군 $(𝒢,𝒮,\cdot )$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 집합 $𝒢$
• $𝒢\times 𝒢$의 부분 집합 $𝒮\subseteq 𝒢\times 𝒢$
• $𝒮$ 위에 정의된 함수 $\cdot :𝒮\to 𝒢$. $\cdot (g,h)$를 $gh$로 쓰자.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (결합 법칙) 임의의 $g,h,k\in 𝒢$에 대하여, 만약 $(g,h),(h,k)\in 𝒮$라면 $(g,hk),(gh,k)\in 𝒮$이며, 또한 $g(hk)=(gh)k$이다.
• (역원의 존재) 임의의 $g\in 𝒢$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 $g^{-1}\in 𝒢$가 존재한다. 이를 $g$의 역원(逆元, 틀:Llang)이라고 한다.
  • (정의역과 공역) $(g,g^{-1})\in 𝒮$이자 $(g^{-1},g)\in 𝒮$이다.
  • (오른쪽 항등원의 성질) 임의의 $h\in 𝒢$에 대하여, 만약 $(h,g)\in 𝒮$라면, $hg{g}^{-1}=h$이다.
  • (왼쪽 항등원의 성질) 임의의 $h\in 𝒢$에 대하여, 만약 $(g,h)\in 𝒮$라면, $g^{-1}gh=h$이다.

이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의 $g,h\in 𝒢$에 대하여 $g{g}^{-1}\ne h{h}^{-1}$일 수 있다.

범주론적 정의

범주론적으로, 준군 $𝒢$는 모든 사상이 동형 사상인 작은 범주이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다.

대수적 정의	범주론적 정의
$𝒢$의 원소	$𝒢$의 사상
$𝒮\subseteq {𝒢}^2$	$\underset{A,B,C\in \mathrm{Ob}(𝒢)}{⨆}{\mathrm{hom}}_{𝒢}(A,B)\times {\mathrm{hom}}_{𝒢}(B,C)$
$(g,h)\in 𝒮$	$\mathrm{codom}g=\mathrm{dom}h$
$\{g{g}^{-1}:g\in 𝒢\}\subseteq 𝒢$	$𝒢$의 대상 집합 $\mathrm{Ob}(𝒢)$
$g{g}^{-1},h{h}^{-1}\in 𝒢$에 대하여, $\{k\in 𝒢:(g{g}^{-1},k),(k,h{h}^{-1})\in 𝒮\}$	$A,B\in \mathrm{Ob}(𝒢)$ 사이의 사상 집합 ${\mathrm{hom}}_{𝒢}(A,B)$
이항 연산 $\cdot :𝒮\to 𝒢$	사상의 합성

예

군의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. 집합의 개념은 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 동치이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, 작은 범주의 개념이 모노이드의 개념과 집합의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 군의 개념과 집합의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다.

작용 준군

틀:본문 군 $G$가 집합 $S$ 위에 작용한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 작용 준군 $G\int S$로 여길 수 있다.

• $G\int S$의 대상은 $S$의 원소이다.
• $s,t\in S$에 대하여, ${\mathrm{hom}}_{G\int S}=\{g\in G:gs=t\}$이다.

기본 준군

틀:본문 위상 공간 $X$ 및 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 기본 준군 $\mathrm{\Pi }(X,S)$은 다음과 같다.

• $\mathrm{\Pi }(X,S)$의 대상은 $S$의 원소이다.
• $s,t\in S$에 대하여, ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{\Pi }(X,S)}(s,t)$는 $s$에서 $t$로 가는 경로들의 (양끝을 고정시킨) 호모토피류들의 집합이다.

역사

하인리히 브란트(틀:Llang)가 1926년에 도입하였다.

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용 재출판 틀:서적 인용틀:깨진 링크

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 내적 준군