연산 (수학)

수학에서 연산(演算, 틀:Llang)은 공집합이 아닌 집합에서, 집합에 속하는 임의의 두 원소로부터 제3의 원소를 만드는 것이다. 또는, 연산자의 정의에 따라 한 개 이상의 피연산자를 계산하여 하나의 결과값(답)을 구하는 것이다. 피연산자 또는 항이 하나일 때 단항연산, 두 개일 때 이항연산, n개일 때 n항 연산이라고 한다.

정의

집합 $S$와 음이 아닌 정수 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$이 주어졌다고 하자. $S$ 위의 $n$항 연산($n$項演算, 틀:Llang)은 다음과 같은 함수이다.

$F:S^{\times n}\to S$

즉, 이는 임의의 $S$ 위의 $n$조 $\overrightarrow{s}\in S^{\times n}$를 유일한 $S$의 원소 $F(\overrightarrow{s})\in S$에 대응시킨다. 특히, $S$ 위의 영항 연산(零項演算, 틀:Llang)은 $S$의 원소 $s\in S$이다. $S$ 위의 일항 연산(一項演算, 틀:Llang) 또는 단항 연산(單項演算)은 $S$ 위의 함수 $S\to S$이다. $S$ 위의 이항 연산(二項演算, 틀:Llang)은 $S$의 두 원소로부터 $S$의 한 원소를 얻는 함수 $S\times S\to S$이다. 편의상 이항 연산을 덧셈 또는 곱셈이라고 하기도 한다. 이항 연산을 갖춘 집합을 마그마라고 한다. $S$ 위의 삼항 연산(三項演算, 틀:Llang)은 $S$의 세 원소로부터 $S$의 한 원소를 얻는 함수 $S\times S\times S\to S$이다.

넓은 의미에서, $n$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

$F:S_0\times S_1\times \cdots \times S_{n-1}\to S$

또한, 무한 순서수 항수를 허용하여 연산의 개념을 일반화할 수 있다. 이 경우, 원래의 항수가 유한한 연산을 유한항 연산(有限項演算, 틀:Llang)이라고 하며, 항수가 무한한 연산을 무한항 연산(無限項演算, 틀:Llang)이라고 한다.

구체적으로, 집합 $S$와 순서수 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대하여, $S$ 위의 $\alpha$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

$F:S^{\times \alpha }\to S$

넓은 의미에서, $\alpha$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

$F:\prod _{\beta <\alpha }{S}_{\alpha }\to S$

연산은 관계의 특수한 경우이다.

연산에 대한 닫힘

집합 $S$ 및 그 위의 $n$항 연산 $F:S^{\times n}\to S$가 주어졌다고 하자. $S$의 부분 집합 $T\subset S$가 다음 조건을 만족시키면, $T$가 $F$에 대하여 닫혀있다($F$에對하여닫혀있다, 틀:Llang)고 한다.

• 임의의 $\overrightarrow{t}\in T^{\times n}$에 대하여, $f(\overrightarrow{t})\in T$

또한, $T\subset S$의 $F:S^{\times n}\to S$에 대한 폐포(閉包, 틀:Llang) ${\mathrm{cl}}_{F}T$는 $F$에 대하여 닫혀있는 최소 집합 $T\subset {\mathrm{cl}}_{F}T\subset S$이다. 즉, 이는 다음과 같다.

${\mathrm{cl}}_{F}T=T\cup F(T^{\times n})\cup F((T\cup F(T^{\times n}){)}^{\times n})\cup \cdots$

보다 일반적으로, 집합 $S$ 및 그 위의 연산의 부분 집합 $ℱ\subset {\bigcup }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}^{S^{\times n}}$이 주어졌다고 하자. $T\subset S$가 다음 조건을 만족시키면, $ℱ$에 대하여 닫혀있다($ℱ$에對하여닫혀있다, 틀:Llang)고 한다.

• 임의의 $F\in ℱ$에 대하여, $T$는 $F$에 대하여 닫혀있다.

또한, $T\subset S$의 $ℱ\subset {\bigcup }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}^{S^{\times n}}$에 대한 폐포(閉包, 틀:Llang) ${\mathrm{cl}}_{ℱ}T$는 $ℱ$에 대하여 닫혀있는 최소 집합 $T\subset {\mathrm{cl}}_{ℱ}T\subset S$이다.

${\mathrm{cl}}_{ℱ}T=\bigcup _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\stackrel{k}{\overbrace{\bigcup _{F\in ℱ}{\mathrm{cl}}_F\bigcup _{F\in ℱ}{\mathrm{cl}}_F\cdots \bigcup _{F\in ℱ}{\mathrm{cl}}_F}}T$

표기

연산의 표기법은 함수 표기법 이외에도 여러 가지가 있다. 자주 사용되는 표기법으로는 연산자를 피연산자의 앞에 배치하여 표기하는 전위 표기법(=폴란드 표기법), 연산자를 피연산자의 뒤에 배치하여 표기하는 후위 표기법(=역폴란드 표기법), 연산자를 두 피연산자의 사이에 표기하는 중위 표기법 따위가 있다.

일항 연산은 전위 표기법 $-a$(반수), $\mathrm{\neg }p$(부정) 또는 후위 표기법 $n!$(계승) 또는 함수 표기법 $\sin (x)$(사인) 등을 사용하여 표기할 수 있다. 연산자를 위 첨자 표기하는 방법 $A^{\mathrm{T}}$(전치 행렬)도 있다. 제곱근 $\sqrt{a}$의 경우, 연산자가 피연산자의 왼쪽과 위쪽에 걸쳐 위치한다.

이항 연산은 보통 함수 표기법 $F(a,b)$ 대신 중위 표기법 $a+b$, $a\cdot b$를 사용하거나 연산자를 생략하는 방식 $ab$를 사용한다. 거듭제곱 $a^b$의 경우, 연산자를 생략하되 두 번째 변수인 지수를 위 첨자 표기한다. 전위 표기법 $+ab$, $\cdot ab$이나 후위 표기법 $ab+$, $ab\cdot$을 사용하기도 한다.

연산

주어진 연산으로부터, 새로운 연산을 다음과 같이 유도할 수 있다.

제한

$S$ 위의 $n$항 연산

$F:S^{\times n}\to S$

은 그에 대하여 닫혀있는 부분 집합 $T\subset S$ 위에 새로운 $n$항 연산

$F{|}_T:T^{\times n}\to T$

$F{|}_T:\overrightarrow{t}\mapsto F(\overrightarrow{t})$

을 유도한다. 이를 $F$의 $T$에서의 제한(制限, 틀:Llang)이라고 한다.

멱집합 위에 유도되는 연산

$n$항 연산

$F:S^{\times n}\to S$

는 멱집합 $𝒫(S)$ 위에 다음과 같은 연산을 유도한다.

$\tilde{F}:𝒫(S{)}^{\times n}\to 𝒫(S)$

$\tilde{F}:\overrightarrow{T}\mapsto \{F(\overrightarrow{t})|t_i\in T_i\}$

즉, 이는 상을 취하는 연산이다. 이를 $F$에 의해 멱집합 위에 유도되는 연산이라고 한다.

점별 연산

$n$항 연산

$F:Y^{\times n}\to Y$

은 함수 집합 $Y^X$ 위에 다음과 같은 $n$항 연산을 유도한다.

$\tilde{F}:(Y^X{)}^{\times n}\to Y^X$

$\tilde{F}:\overrightarrow{f}\mapsto (x\mapsto F(\overrightarrow{f}(x)))$

이를 $F$에 대한 점별 연산(點別演算, 틀:Llang)이라고 한다.

예

사칙 연산

틀:본문 실수 집합 $ℝ$ 위에 정의된 사칙 연산 가운데,

• 덧셈 $+:ℝ\times ℝ\to ℝ$, $(r,s)\mapsto r+s$은 $ℝ$ 위의 이항 연산이다.
• 뺄셈 $-:ℝ\times ℝ\to ℝ$, $(r,s)\mapsto r-s$ 역시 $ℝ$ 위의 이항 연산이다.
• 곱셈 $\cdot :ℝ\times ℝ\to ℝ$, $(r,s)\mapsto rs$ 역시 $ℝ$ 위의 이항 연산이다.
• 그러나, 나눗셈 $/:ℝ\times (ℝ\setminus \{0\})\to ℝ$, $(r,s)\mapsto r/s$은 이항 연산이 아니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문이다. 다만, 나눗셈은 넓은 의미에서 이항 연산이다.

자연수 집합 $\mathbb{N}$이 사칙 연산에 대하여 닫혀있는지의 여부는 각각 다음과 같다.

• $\mathbb{N}$은 $+$에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 $m,n\in \mathbb{N}$에 대하여, $m+n\in \mathbb{N}$이다.
• $\mathbb{N}$은 $-$에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, $3,5\in \mathbb{N}$이지만, $3-5=-2\in ̸\mathbb{N}$이다. 사실, ${\mathrm{cl}}_{-}\mathbb{N}=\mathbb{Z}$이다. (여기서 $\mathbb{Z}$는 정수 집합이다.)
• $\mathbb{N}$은 $\cdot$에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 $m,n\in \mathbb{N}$에 대하여, $mn\in \mathbb{N}$이다.
• $\mathbb{N}$은 $/$에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, $2,5\in \mathbb{N}$이지만, $2/5\in ̸\mathbb{N}$이다. 사실, ${\mathrm{cl}}_{/}\mathbb{N}=\mathbb{Q}$이다. (여기서 $\mathbb{Q}$는 유리수 집합이다.)

논리 연산

틀:본문 논리식의 논리합과 논리곱은 논리식 집합 위의 이항 연산이다. 논리식의 부정은 논리식 집합 위의 일항 연산이다.

군 위의 연산

군 $G$ 위에 정의된 연산들 가운데,

• 항등원 $1_G\in G$는 $G$ 위의 영항 연산이다.
• 곱셈 $\cdot :G\times G\to G$, $(g,h)\mapsto gh$는 $G$ 위의 이항 연산이다.

이들에 의해 멱집합에 유도되는 연산들은 각각 다음과 같다.

• 자명군 $\{1_G\}\subset G$
• 임의의 $H,K\subset G$에 대하여, $HK=\{hk|h\in H,k\in K\}\subset G$
  • 특히, 임의의 $g\in G\supset H$에 대하여, $gH=\{gh|h\in H\}\subset G$

벡터 공간 위의 연산

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$에 정의된 연산들 가운데,

• 영벡터 $0_V\in V$는 $V$ 위의 영항 연산이다.
• 벡터 덧셈 $+:V\times V\to V$, $(v,w)\mapsto v+w$은 $V$ 위의 이항 연산이다.
• 그러나, 스칼라 곱셈 $\cdot :K\times V\to V$, $(a,v)\mapsto av$은 이항 연산이 아니며, 넓은 의미의 이항 연산이다. 이를 일항 연산 $a\cdot :V\to V$, $v\mapsto av$ ($a\in K$)의 집합으로 여길 수 있다.

이들은 각각 함수 집합 $W^V$ 위에 점별 연산을 유도하며, 선형 변환 공간 $\mathrm{hom}(V,W)\subset W^V$은 이에 대하여 닫혀있다. 따라서 $\mathrm{hom}(V,W)$ 위에 다음과 같은 점별 연산들이 유도된다.

• 영선형 변환 $0_{V,W}:V\to W$, $v\mapsto 0_W$
• 임의의 선형 변환 $T,U:V\to W$ 및 벡터 $v\in V$에 대하여, $(T+U)(v)=T(v)+U(v)$. 이를 점별 덧셈이라고 한다.
• 임의의 선형 변환 $T:V\to W$ 및 벡터 $v\in V$ 및 스칼라 $a\in K$에 대하여, $(aT)(v)=aT(v)$. 이를 점별 스칼라 곱셈이라고 한다.

관계

틀:본문 $n$항 관계

$R\subseteq S^{\times n}$

은 다음과 같은 특수한 $n$항 연산으로 여길 수 있다.

$F:S^{\times n}\to 2$

$F:\overrightarrow{s}\mapsto \{\begin{array}{cc}1& \overrightarrow{s}\in R\\ 0& \overrightarrow{s}\in ̸R\end{array}$

같이 보기

• 관계 (수학)
• 하이퍼 연산
• 중위 표기법
• 연산자
• 연산의 우선순위

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:플래닛매스
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• 틀:Proofwiki
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