단체 준군

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 단체 준군(單體準群, 틀:Llang)은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.틀:Rp

정의

단체 준군은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.틀:Rp틀:Rp 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 집합 $\mathrm{Ob}(G)$. 그 원소를 대상이라고 한다.
• 임의의 두 $x,y\in \mathrm{Ob}(G)$에 대하여, 단체 집합 ${\mathrm{hom}}_G(x,y)$. 이를 $x\to y$ 사상들의 단체 집합이라고 한다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• 각 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $G_n=(\mathrm{Ob}(G),({\mathrm{hom}}_G(x,y){)}_n)$는 준군을 이룬다.
• 단체 범주 $\mathrm{△}$의 사상 (즉, 증가 함수) $f:\{0,1,\dots ,n\}\to \{0,1,\dots ,m\}$에 대하여, $f^{*}:G_m\to G_n$는 준군 준동형(즉, 함자)을 이룬다. (이들은 대상 집합 $\mathrm{Ob}(G_n)=\mathrm{Ob}(G)$에 대하여 항등 함수이다.)

단체 준군의 사상은 준군 준동형(즉, 함자)을 이루는 단체 집합 사상(즉, 단체 범주 위의 준층의 자연 변환)이다. 단체 준군의 범주를 $\mathrm{sGpd}$로 표기하자.

성질

단체 준군의 정의에 따라, 준군의 범주 및 단체 집합의 범주로 가는 망각 함자

$\mathrm{sGpd}\to \mathrm{Gpd}$

$\mathrm{sGpd}\to \mathrm{sSet}$

가 존재한다.

모든 단체 준군으ᇿ 준군 범주의 단체 대상을 이루지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 준군 범주의 단체 대상 가운데 그 대상 단체 집합이 이산 공간인 경우 이는 단체 준군을 이룬다. 특히, 군은 하나의 대상만을 갖는 준군이므로, 군의 범주의 단체 대상은 항상 단체 준군이다. 군의 범주의 단체 대상을 단체군(單體群, 틀:Llang)이라고 한다.

모든 단체군은 자동적으로 칸 복합체이며,틀:Rp 따라서 그 호모토피 군을 정의할 수 있다.

고리 준군

단체 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 화살집

$X_{n+1}\stackrel{s}{\rightrightarrows }t{X}_0$

$s=({\partial }_1{)}^{n+1}:X_{n+1}\to X_0$

$t={\partial }_0\circ ({\partial }_2{)}^n:X_{n+1}\to X_0$

을 생각하자. ($s$는 화살의 머리, $t$는 화살의 꼬리를 뜻한다.) 이 화살집으로 생성되는 자유 준군을 $(\mathrm{G}X{)}_n$이라고 표기하자.

이제, 이 위에 다음과 같은 단체 대상 구조를 줄 수 있다. 자유 준군의 사상의 생성원 (즉, 화살집의 화살) $e\in X_{n+1}$에 대하여,

$s_i^{\mathrm{G}X}(e)=s_{i+1}^X(e)\mathrm{\forall }e\in X_{n+1}$

$\underset{i}{\overset{\mathrm{G}X}{\partial }}(e)=\{\begin{array}{cc}\underset{i+1}{\overset{X}{\partial }}(e)& 1\le i\le n\\ \underset{0}{\overset{\mathrm{G}X}{\partial }}(e)=(\underset{0}{\overset{X}{\partial }}(e){)}^{-1}\underset{1}{\overset{X}{\partial }}(e)& i=0\end{array}\mathrm{\forall }e\in X_{n+1}$

그렇다면, $\mathrm{G}X$는 준군 범주의 단체 대상을 이루며, 면 $\underset{i}{\overset{\mathrm{G}X}{\partial }}$ 및 퇴화 단체 $s_i^{\mathrm{G}X}$ 사상들이 준군 대상에 대하여 상수 함수이므로, 이는 단체 준군을 이룬다.

이는 단체 집합의 범주에서 단체 준군의 범주로 가는 함자

$\mathrm{sSet}\to \mathrm{sGpd}$

를 이룬다. 이를 드와이어-칸 고리 준군 함자(Dwyer-Kan고리準群函子, 틀:Llang)라고 한다. 대략, 단체 집합 $X$의 고리 준군 $\mathrm{G}X$는 다음과 같다.

• $\mathrm{G}X$의 대상의 집합 $(\mathrm{G}X{)}_0$은 $X$의 꼭짓점 집합 $X_0$과 같다.
• $\mathrm{G}X$의 두 대상 사이의 사상들의 단체 집합은 $X$의 1차원 이상 단체들로 구성된 “경로”들의 집합이다. 여기서 $X$의 1차원 이상 단체에서, 0번째 꼭짓점을 (경로를 구성하는) 변의 “머리”로, 1번째 꼭짓점을 변의 “꼬리”로 여긴다.

이 개념은 고리 공간의 개념의, 단체 집합에 대한 공식화이다.

드와이어-칸 고리 준군 함자는 다음과 같이 제한될 수 있다.

$G:\mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{red}}\to \mathrm{simp}(\mathrm{Grp})$

여기서

• $\mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{red}}$는 단체 집합 가운데 하나의 꼭짓점만을 갖는 것(축소 단체 집합 縮小單體集合 틀:Llang)들의 범주이다.
• $\mathrm{simp}(\mathrm{Grp})$은 단체군의 범주이다.

단체 분류 공간

드와이어-칸 고리 준군 함자는 또한 오른쪽 수반 함자

$\mathrm{B}:\mathrm{sGpd}\to \mathrm{sSet}$

를 가지며, 이를 단체 분류 공간 함자(單體分類空間函子, 틀:Llang)라고 한다. 즉, 수반 함자의 쌍

$\mathrm{G}:\mathrm{sSet}\leftrightarrows \mathrm{sGpd}:\mathrm{B}$

이 존재한다.

단체군의 단체 분류 공간은 축소 단체 집합이다. 이를 통해, 수반 함자의 쌍

$\mathrm{G}:\mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{red}}\leftrightarrows {\mathrm{Grp}}^{{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}}:\mathrm{B}$

이 존재한다.

구체적으로, 단체 준군 $(G_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

• $(\mathrm{B}G{)}_0=\mathrm{Ob}(G)$
• $(\mathrm{B}G{)}_1=\mathrm{Mor}(G_0)$
• $(\mathrm{B}G{)}_n=\{(h_{n-1},h_{n-2},\dots ,h_1,h_0):h_i\in G_i,{𝗌}_{G_n}(h_i)={𝗍}_{G_n}(h_{i-1})\mathrm{\forall }0<i<n\}\subseteq \mathrm{Mor}(G_{n-1})\times \cdots \times \mathrm{Mor}(G_0)$
  • 여기서 ${𝗌}_{G_n},{𝗍}_{G_n}:\mathrm{Mor}(G_n)\to \mathrm{Ob}(G)$은 준군 $G_n$의 사상의 머리 및 꼬리 함수이다.
• 면 사상은 다음과 같다.
  • $\underset{0}{\overset{n}{\partial }}(h_{n-1},\dots ,h_0)=(h_{n-2},\dots ,h_0)$
  • $\underset{i}{\overset{n}{\partial }}(h_{n-1},\dots ,h_0)=(\underset{i-1}{\overset{G_{n-1}}{\partial }}{h}_{n-1},\underset{i-2}{\overset{G_{n-2}}{\partial }}{h}_{n-2},\dots ,\underset{1}{\overset{G_{n-i+1}}{\partial }}{h}_{n-i+1},(\underset{0}{\overset{G_{n-i}}{\partial }}{h}_{n-i})h_{n-i-1},h_{n-i-2},\dots ,h_0)(0<i<n)$
  • $\underset{n}{\overset{n}{\partial }}(h_{n-1},\dots ,h_0)=(\underset{n-1}{\overset{G_{n-1}}{\partial }}{h}_{n-1},\dots ,\underset{1}{\overset{G_1}{\partial }}{h}_1)$
• 퇴화 사상은 다음과 같다.
  • $s_0^n(h_{n-1},\dots ,h_0)=({\mathrm{id}}_{𝗌(h_{n-1})},h_{n-1},\dots ,h_0)$
  • $s_i^n(h_{n-1},\dots ,h_0)=(s_{i-1}{h}_{n-1},\dots ,s_0{h}_{n-i},{\mathrm{id}}_{𝗍(h_{n-i})},h_{n-i-1},\dots ,h_0)(0<i\le n)$

모형 범주 구조

단체 준군의 범주는 모형 범주의 구조를 가지며, 이는 단체 범주의 (표준적) 모형 범주 구조와 퀼런 동치이다.틀:Rp 즉, 그 호모토피 범주는 단체 범주의 호모토피 범주와 동치이다.틀:Rp

이 모형 범주 구조에서, 사상 $f:G\to H$가 올뭉치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.

• (올림의 존재) 임의의 $G$의 대상 $x\in \mathrm{Ob}(G)$ 및 $H$의 사상 $\alpha \in {\mathrm{hom}}_H(f(x),y)$에 대하여, $f(\overline{\alpha })=\alpha$이며 $f(\overline{y})=y$인 $G$의 사상 $\overline{\alpha }\in {\mathrm{hom}}_G(x,\overline{y})$이 존재한다.
• 각 대상 $x\in \mathrm{Ob}(G)$에 대하여, 단체 집합 사상 ${\mathrm{hom}}_G(x,x)\to {\mathrm{hom}}_H(f(x),f(x))$는 칸 올뭉치이다.

이 모형 범주 구조에서, 사상 $f:G\to H$가 약한 동치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.

• $f$는 연결 성분 집합 ${\pi }_0(G)$, ${\pi }_0(H)$ 사이의 전단사 함수를 정의한다.
• 임의의 $x\in \mathrm{Ob}(G)$에 대하여, $(f\upharpoonright {\mathrm{hom}}_G(x,x)):{\mathrm{hom}}_G(x,x)\to {\mathrm{hom}}_H(f(x),f(x))$는 단체 집합의 약한 동치를 이룬다.

이에 따라, 단체 준군을 위상 공간의 호모토피 유형의 모형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서, 단체군은 연결 공간에 해당한다.

무어 복합체

단체군 $G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로부터 무어 복합체라는 군들의 열을 정의할 수 있다.

$(\mathrm{N}G{)}_0\stackrel{{\partial }_1}{\leftarrow }(\mathrm{N}G{)}_1\stackrel{{\partial }_2}{\leftarrow }(\mathrm{N}G{)}_2\stackrel{{\partial }_3}{\leftarrow }\cdots$

이 사이의 사상 ${\partial }_i:(\mathrm{N}G{)}_i\to (\mathrm{N}G{)}_{i-1}$은 군 준동형이며, 또한 ${\partial }_i\circ {\partial }_{i+1}=1$ (상수 함수)이다. 즉, 이는 군의 “사슬 복합체”를 이룬다. 또한, 각 경계 사상의 상은 정규 부분군을 이룬다. (즉, 이 “사슬 복합체”의 “호몰로지”를 취할 수 있다.) 이러한 구조 $(\mathrm{N}G{)}_{\bullet }$를 단체군 $G$의 무어 복합체(Moore複合體, 틀:Llang)라고 한다.

구체적으로,

$(\mathrm{N}G{)}_n=\bigcap _{i=1}^n\ker \underset{i}{\overset{G_n}{\partial }}\le G_n$

${\partial }_n=(\underset{i}{\overset{G_n}{\partial }}\upharpoonright (\mathrm{N}G{)}_n):(\mathrm{N}G{)}_n\to (\mathrm{N}G{)}_{n-1}$

이다. 여기서 $\underset{i}{\overset{G_n}{\partial }}:G_n\to G_{n-1}$은 단체 대상의 면 사상이다. (※ $\underset{0}{\overset{G_n}{\partial }}$은 교집합에서 사용되지 않는다.) 다시 말해,

• 무어 복합체의 항 $(\mathrm{N}G{)}_n$은 $G$의 $n$차원 단체 가운데, 1번째〜$n$번째 면들이 모두 자명한 것들로 구성된 부분군이다. 그러나 0번째 면은 자명하지 않을 수 있다. (특히, $(\mathrm{N}G{)}_0=G_0$이다.)
• 무어 복합체의 경계 준동형은 0번째 면을 취하는 연산이다.

이러한 무어 복합체는 초교차 복합체(超交叉複合體, 틀:Llang)라는 대수 구조를 이루며, 무어 복합체 구성을 통해 단체군의 범주는 초교차 복합체의 범주와 동치이다.

특히, 무어 복합체에서 $(\mathrm{N}G{)}_2=1$이라고 하고, 처음 두 항

$(\mathrm{N}G{)}_0\stackrel{\partial }{\leftarrow }(\mathrm{N}G{)}_1$

을 생각하자. $(\mathrm{N}G{)}_0=G_0$은 $(\mathrm{N}G{)}_1$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$g\cdot h=s_0^{G_0}(g)h(s_0^{G_0}(g){)}^{-1}\in (\mathrm{N}G{)}_1(g\in G_0,h\in (\mathrm{N}G{)}_1)$

그렇다면, 이 데이터는 교차 가군을 정의한다.

역사

축소 단체 집합의 고리 군은 다니얼 칸이 1958년에 도입하였다. 이 구성을 윌리엄 제러드 드와이어(틀:Llang, 1947〜)와 다니얼 칸이 1984년에 임의의 단체 집합의 고리 준군으로 일반화하였다.

같이 보기

• 준군

외부 링크

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