보편 포락 대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수 이론에서, 보편 포락 대수(普遍包絡代數, 틀:Llang)는 주어진 리 대수의 리 괄호를, 결합법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다.

정의

보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 구체적으로, 텐서 대수의 특정한 양쪽 아이디얼에 대한 몫으로 정의될 수 있다.
• 추상적으로, 결합 대수를 리 대수로 여기는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

구체적 정의

가환환 $K$에 대한 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수

$\mathrm{T}(𝔤)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{𝔤}^{{\otimes }_{K}n}=K\oplus 𝔤\oplus 𝔤{\otimes }_K𝔤\oplus \cdots$

에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 $\Im$를 생각하자.

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\mathrm{\forall }a,b\in 𝔤\subset T(𝔤)$

이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수

$\mathrm{U}(𝔤)=\frac{\mathrm{T}(𝔤)}{\Im }$

를 $𝔤$의 보편 포락 대수 $\mathrm{U}(𝔤)$라고 한다. 이는 $K$-결합 대수를 이룬다. $𝔤\subset \mathrm{T}(𝔤)$이므로, 자연스러운 $K$-선형 변환

$𝔤\to U(𝔤)$

이 존재한다.

보편 포락 대수 $\mathrm{U}(𝔤)$는 텐서 대수 $T(𝔤)$로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 $a,b\in 𝔤$에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.

• 곱셈: $ab$
• 단위원: $1$
• 쌍대곱: $\mathrm{\Delta }(a)=a\otimes 1+1\otimes a$
• 쌍대단위원: $ϵ(a)=0$
• 앤티포드: $S(a)=-a$

범주론적 정의

가환환 $K$가 주어졌을 때, $K$-리 대수의 범주 ${\mathrm{LieAlg}}_K$와 $K$-결합 대수의 범주 ${\mathrm{Assoc}}_K$를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자

$\mathrm{Forget}:{\mathrm{Assoc}}_K\to {\mathrm{LieAlg}}_K$

$(A,\cdot )\mapsto (A,[-,-]:(a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)$

는 왼쪽 수반 함자

$\mathrm{U}⊣\mathrm{Forget}$

$\mathrm{U}:{\mathrm{LieAlg}}_K\to {\mathrm{Assoc}}_K$

를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 보편 포락 대수라고 한다.

보편 포락 대수의 쌍대 대수

보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. $𝔤$가 체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 $K$-벡터 공간의 짧은 완전열

$0\Im \to \mathrm{T}(𝔤)\to \mathrm{U}(𝔤)\to 0$

은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.)

$0\mathrm{U}(𝔤{)}^{*}\to \mathrm{T}(𝔤{)}^{*}\to {\Im }^{*}\to 0$

여기서

$\mathrm{T}(𝔤{)}^{*}=\mathrm{T}({𝔤}^{*})$

이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소

$p=\sum _{i=0}{p}_i\in \mathrm{U}(𝔤{)}^{*}$

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 자연수 $i\in \mathbb{N}$에 대하여, 선형 변환 $p_i:{𝔤}^{\otimes i}\to K$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\sup \{i\in \mathbb{N}:p_i\ne 0\}<\mathrm{\infty }$

$p_{2+m+n}(x_1,\dots ,x_m,y,z,w_1,\dots ,w_n)-p_{2+m+n}(x_1,\dots ,x_m,z,y,w_1,\dots ,w_n)=p_{1+m+n}(x_1,\dots ,x_m,[y,z],w_1,\dots ,w_n)\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N},x_1,\dots ,x_m,y,z,w_1,\dots ,w_n\in 𝔤$

예를 들어

$p_2(x,y)-p_2(y,x)=p_1([x,y])$

$p_3(x,y,z)-p_3(x,z,y)=p_2(x,[y,z])$

$p_3(x,y,z)-p_3(y,x,z)=p_2([x,y],z)$

이다. ($p_0\in K$는 항등식에 등장하지 않는다.)

이 위의 가환환 구조는 다음과 같다.

$(pq{)}_0()=p_0()q_0()$

$(pq{)}_1(x)=p_0()q_1(x)+p_1(x)q_0()$

$(pq{)}_2(x,y)=p_0()q_2(x,y)+p_1(x)q_2(y)+p_1(y)q_1(x)+p_2(x,y)q_0()$

$(pq{)}_3(x,y,z)=p_0()q_3(x,y,z)+p_1(x)q_2(y,z)+p_1(y)q_2(x,z)+p_1(z)q_2(x,y)+p_2(x,y)q_1(z)+p_2(x,z)q_2(y)+p_2(y,z)q_2(x)+p_3(x,y,z)q_0()$

$⋮$

일반적으로 $(pq{)}_i$의 표현은 $2^i$개의 항을 갖는다. 그 항등원은

$e_0()=1$

$e_i=0\mathrm{\forall }i>0$

이다.

성질

환론적 성질

임의의 가환환 $K$ 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.

임의의 체 $K$ 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 $\mathrm{U}(𝔤)$는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).

연산과의 호환

체 $K$ 위의 두 리 대수 $𝔤$, $𝔥$의 직합 $𝔤\oplus 𝔥$의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.틀:Rp

$\mathrm{U}(𝔤\oplus 𝔥)=\mathrm{U}(𝔤){\otimes }_K\mathrm{U}(𝔥)$

푸앵카레-버코프-비트 정리

푸앵카레-버코프-비트 정리(-定理, 틀:Llang)에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.

${\iota }_{𝔤}:𝔤\hookrightarrow U(𝔤)$

또한, $U(𝔤)$는 항상 $𝔤$로부터 생성된다.

구체적으로, 임의의 가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하고, $𝔤$가 $K$-자유 가군이라고 하자. $𝔤$의 (하멜) 기저 $B\subseteq 𝔤$를 고르자. 또한, $B$ 위에 임의의 전순서를 부여하자.

그렇다면, $U(𝔤)$ 역시 $K$-자유 가군이며, 집합

$\{{\iota }_{𝔤}(b_1){\iota }_{𝔤}(b_2)\cdots {\iota }_{𝔤}(b_n):n\in \mathbb{N},b_1,b_2,\dots ,b_n\in B\}$

은 $U(𝔤)$의 (하멜) 기저를 이룬다. 여기서 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$은 자연수의 집합이며, 특히 $n=0$일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

하리시찬드라 동형 정리

복소수체 위의 가약 리 대수(틀:Llang) $𝔤$의 보편 포락 대수 $\mathrm{U}(𝔤)$의 중심 $\mathrm{Z}(\mathrm{U}(𝔤))$을 생각하자. 이 경우, 바일 군 $\mathrm{Weyl}(𝔤)$을 정의할 수 있다. 또한, $𝔤$의 카르탕 부분 대수 $𝔥$를 고른다면, $\mathrm{Weyl}(𝔤)$는 $𝔥$ 위에 자연스럽게 작용하며, 나아가 $𝔥$ 위의 다항식환 (대칭 대수) $\mathrm{Sym}𝔥$ 위에도 자연스럽게 작용한다.

하리시찬드라 동형 정리(हरीश चन्द्र同型定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{U}𝔤))=(\mathrm{Sym}𝔥{)}^{\mathrm{Weyl}(𝔤)}$

여기서 $(\mathrm{Sym}𝔥{)}^{\mathrm{Weyl}(𝔤)}$는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

카시미르 불변량

$n$차원 복소수 단순 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식

$B\in {\mathrm{Sym}}^2{𝔤}^{*}$

이 존재한다. 그렇다면, 임의의 $B$-정규 직교 기저

$𝔤=\mathrm{Span}\{X^1,\dots ,X^n\}$

$B(X^i,X^j)={\delta }^{ij}$

가 주어졌을 때, $𝔤$의 카시미르 불변량(Casimir不變量, 틀:Llang)은 다음과 같은 보편 포락 대수 $\mathrm{U}(𝔤)$의 원소이다.

$C=\sum _{i=1}^{n}B(X^i,X^j)\in U(𝔤)$

보다 일반적으로, 체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$ 위의 대칭 쌍선형 형식

$B\in {\mathrm{Sym}}^2{𝔤}^{*}$

가 딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.

$B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\mathrm{\forall }X,Y,Z\in 𝔤$

그렇다면, 마찬가지로 카시미르 불변량 $C(B)\in U(𝔤)$를 정의할 수 있다.

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다. $K=ℝ$일 경우, 단일 연결 리 군 $G$의 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)$ 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 $B$는 $G$ 위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 $G$ 위의 라플라스-벨트라미 연산자 ${\mathrm{\Delta }}_B$와 같다.

역사

1880년대에 알프레도 카펠리(틀:Llang)가 리 대수 $𝔤𝔩(n;K)$에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다. 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 개릿 버코프와 에른스트 비트가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”(틀:Llang)로 일컫기 시작하였다.

하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용