중심 (대수학)

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 중심(中心, 틀:Llang)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의

이항 연산 $\cdot$을 가진 대수 구조 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$의 중심 $Z(X)$은 다음과 같은 부분 집합이다.

$\{z\in X:x\cdot z=z\cdot x\mathrm{\forall }x\in X\}$

일부 대수 구조의 경우, 이는 $X$의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 $Z$인데, 이는 중심을 뜻하는 틀:Llang의 머릿글자다.

성질

만약 이항 연산에 대한 항등원 $x\cdot 1=1\cdot x=x$이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.

$1\in Z(X)$

만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 $z\in Z(X)$에 대하여 역원 $z^{-1}\cdot z=z\cdot z^{-1}=1$이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.

$z\in Z(X)⟹z^{-1}\in Z(X)$

이는 임의의 $x\in X$에 대하여

$z^{-1}\cdot x=z^{-1}\cdot x\cdot z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z\cdot x\cdot z^{-1}=x\cdot z^{-1}$

이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.

주요 대수 구조의 중심

군의 중심

군 $G$의 중심 $Z(G)$는 $G$의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우, $Z(G)=G$이다.

모노이드의 중심

모노이드 $(M,\cdot )$의 중심 $Z(M)$은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, $Z(M)=M$이다.

환의 중심

유사환 $(R,+,\cdot )$의 중심은 곱셈 $\cdot$에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, $R$는 $Z(R)$ 위의 결합 대수를 이룬다.

환 $(R,+,\cdot )$의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며,$R$는 $Z(R)$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 $D$의 중심 $Z(D)$은 체를 이루며, $D$는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

예

군의 중심

대표적인 군의 중심은 다음과 같다.

군	중심
사원수군 $Q_8$	$\{+1,-1\}$
대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$ ($n\ge 3$)	자명군
교대군 $\mathrm{Alt}(n)$ ($n\ge 4$)	자명군
일반선형군 $\mathrm{GL}(n;K)$	$\{a{I}_{n\times n}:a\in K\setminus \{0\}\}$
직교군 $\mathrm{O}(n;K)$	$\{\pm I_{n\times n}\}$

환의 중심

사원수의 나눗셈환 $ℍ$의 중심은 실수체 $ℝ$이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 $\mathrm{Mat}(n;K)$의 중심은 스칼라 행렬

$Z(\mathrm{Mat}(n;K))=\{a{I}_{n\times n}:a\in K\}\cong K$

이다. 행렬환은 이에 따라 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드

같이 보기

• 중심화 부분군
• 정규화 부분군