기하학적 양자화

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 수리물리학에서 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 틀:Llang)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다.

정의

대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$. 이는 계의 상태 공간(phase space)이다.
• 해밀토니언 $H:M\to ℝ$. 이는 계의 시간 변화를 나타낸다.

고전적 관측가능량들은 $M$ 위의 함수로 나타내어진다.

기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.

1. 준양자화(틀:Llang)
2. 양자화
3. 메타플렉틱 보정(틀:Llang)

준양자화

심플렉틱 형식 $\omega$가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, 틀:Llang)을 만족시킨다고 하자.

$[\omega /2\pi ]\in {\mathrm{H}}^2(M;\mathbb{Z})$

즉, $\omega /2\pi$의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.)

매끄러운 다양체 $(M,\omega )$ 위의 준양자 구조(準量子構造, 틀:Llang)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $M$ 위의 복소수 선다발 $L\twoheadrightarrow M$
• $L$ 위의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$

준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다.

${\mathrm{c}}_1(L)=[\omega /2\pi ]$

$F_{\mathrm{\nabla }}=\mathrm{i}\omega$

여기서 $c_1$은 1차 천 특성류이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.)

$(M,\omega )$의 준양자 구조 $(ℒ,\mathrm{\nabla })$가 주어졌다면, $ℒ\to {ℒ}^{\otimes n}$은 $(M,n\omega )$의 준양자 구조를 이룬다. 일반화 위치 $q^i$를 고정시킨다면 일반화 운동량이

$p_i=q_j{\omega }_{ij}$

이므로, 이는

$p_i\mapsto n{p}_i$

와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 $S$는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는

$S/\hslash \mapsto nS/\hslash =S/(\hslash /n)$

이다. 양자역학의 파인만 경로 적분은 $S/\hslash$에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의

$\hslash \mapsto \hslash /n$

으로 생각할 수 있다. 따라서, $n\to \mathrm{\infty }$ 극한은 $\hslash \to 0$, 즉 반고전적(틀:Llang) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.

양자화

다양체 $M$ 위의 극성화(極性化, 틀:Llang)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 $T{M}^{ℂ}$의 부분 벡터 다발 $P\subset T{M}^{ℂ}$이다.틀:Rp틀:Rp

• (적분 가능성) 모든 $u,v\in P$에 대하여, $[u,v]\in P$이다. 여기서 $[\cdot ,\cdot ]$는 리 미분이다.
• (극대성) $P$보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, $M$이 유한 차원이라면, $P$의 차원은 ${\dim }_{ℝ}P=\dim M$이다.)

극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 $(M,L,\mathrm{\nabla },P)$에 대하여, $\mathscr{H}$는 $L$의 제곱 적분 가능 단면 가운데, $P$의 방향으로 일정한 단면들이다.

$\mathscr{H}=\{s\in {\mathrm{L}}^2(M,L):{\mathrm{\nabla }}_{P}s=0\}$

이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(틀:Llang)가 양자역학의 상태 공간이다.

여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. $P$는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간(틀:Llang) $M/P$를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 $M$으로부터 유도된 측도가 존재한다. ${\mathrm{\nabla }}_{P}s=0$을 만족시키는 단면의 경우 $M/P$ 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 $M/P$ 위에 유도된 측도에 대한 것이다.

메타플렉틱 보정

양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조(틀:Llang)를 정의해야 한다.

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$의 접다발 $TM$은 심플렉틱 구조로 인해 $\mathrm{Sp}(\dim M,ℝ)$ 구조를 갖는다. 메타플렉틱 군 $\mathrm{Mp}(2k,ℝ)$는 $\mathrm{Sp}(2k,ℝ)$의 연결 두 겹 피복군이다. (${\pi }_1(\mathrm{Sp}(2k,ℝ))=\mathbb{Z}$이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$의 메타플렉틱 구조는 접다발의 $\mathrm{Sp}(\dim M,ℝ)$ 구조를 메타플렉틱 구조 $\mathrm{Mp}(\dim M,ℝ)$로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.)

준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 $N\subset M$과 그 위에 정의된 $L$의 단면 $s\in \mathrm{\Gamma }(N,L\otimes \sqrt{\det T^{*}N})$이다. $s^2$는 $N$ 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 $\mathscr{H}$의 원소 $\tilde{s}\in {\mathrm{L}}^2(M,L)$로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 $f:M\to ℝ$ 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.

특히, 이 경우 자주 선다발 $L$을 $L\otimes \sqrt{K}$로 대체한다. 여기서 $K={\bigwedge }^{\dim M}(\mathrm{T}M/P{)}^{*}$이다. 만약 $P$가 정칙 극성화라면 $K$는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며, 만약 $P$가 실수 극성화라면 $K$는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 예를 들어, ${\mathrm{T}}^{*}N$의 실수 극성화의 경우, 상태는 $N$ 위의 함수 $f(x)$ 대신 $f(x)\sqrt{{\mathrm{d}}^{\dim N}x}$의 꼴이게 되며, 그 제곱 $|f(x){|}^2{\mathrm{d}}^{\dim N}x$은 자연스럽게 $N$ 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 $n\omega \hslash$ 대신 $(n+1/2)\omega \hslash$가 된다.

극성화의 종류

기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.

• $M$이 공변접다발 $M={\mathrm{T}}^{*}N$인 경우. 이는 짜임새 공간 $N$이 존재하여, 라그랑주 역학이 적용 가능한 경우다.
• $M$이 켈러 다양체인 경우.

공변접다발

공변접다발

$M={\mathrm{T}}^{*}N$

의 경우, 심플렉틱 미분 형식 $\omega =\mathrm{d}{p}_i\wedge \mathrm{d}{q}^i$에 대한 리우빌 미분 형식

$\theta =p_i\wedge \mathrm{d}{q}^i$

이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, $\omega =\mathrm{d}\theta$는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발

$ℒ\cong M\times ℂ$

은 자명하고, 그 위에 $\theta$를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다.

이 경우, 표준적으로

${\mathrm{T}}_{(x,p)}M\cong {\mathrm{T}}_{x}N\oplus {\mathrm{T}}_x^{*}N(x\in M,p\in {\mathrm{T}}_x^{*}M)$

${\mathrm{T}}_{(x,p)}{M}^{ℂ}\cong {\mathrm{T}}_x{N}^{ℂ}\oplus {\mathrm{T}}_x^{*}{N}^{ℂ}(x\in M,p\in {\mathrm{T}}_x^{*}M)$

이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.

$𝒫={\mathrm{T}}^{*}{N}^{ℂ}\subset T{M}^{ℂ}$

이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다.

따라서 복소수 힐베르트 공간은 $N$ 위의 르베그 공간

$\mathscr{H}={\mathrm{L}}^2(N,ℂ)$

과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은

${\hat{x}}^i:f\mapsto x_{i}f$

${\hat{p}}_i:f\mapsto -i{\partial }_{i}f$

으로 대응된다.

켈러 다양체

그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 $2\pi$배)인 켈러 다양체 $M$을 생각하자. 이 경우, $\omega /2\pi$에 대응하는 정칙 선다발 $L\twoheadrightarrow M$이 존재하며, 그 위에 곡률이 $i\omega$인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발 $T{M}^{ℂ}$를 다음과 같이 분해할 수 있다.

$\mathrm{T}{M}^{ℂ}=\mathrm{T}{M}^{+}\oplus \mathrm{T}{M}^{-}$

여기서 $\mathrm{T}{M}^{+}$는 정칙 벡터장들의 다발이고, $\mathrm{T}{M}^{-}$는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를

$𝒫=\mathrm{T}{M}^{-}$

로 잡을 수 있다. 이에 따라서,

$\mathscr{H}=H^0(M,L)$

은 $L$의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은

${\hat{z}}^i:f\mapsto z^{i}f$

$-\mathrm{i}{\partial }_i:f\mapsto -\mathrm{i}{\partial }_{i}f$

에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.

예

유클리드 공간의 공변접다발 극성화

구체적으로, 위상 공간이 $2n$차원 유클리드 공간 ${ℝ}^{2n}$ 인 계를 생각하자. 이를 공변접다발

${ℝ}^{2n}\cong T^{*}{ℝ}^n={\mathrm{Span}}_{ℝ}\{x_1,\dots ,x_n,p_1,\dots ,p_n\}$

으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜

$\theta =\sum _{i=1}^n{p}_{i}d{x}_i$

에 대응하는 접속은 다음과 같다.

${\mathrm{\nabla }}_{\partial /\partial p_i}=\frac{\partial }{\partial p_i}$

${\mathrm{\nabla }}_{\partial /\partial q_i}=\frac{\partial }{\partial q_i}-2\pi i{p}_i$

극성화

$\mathrm{Span}\left\{\frac{\partial }{\partial p}\right\}$

에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.

$\mathscr{H}=\{f\in L^2({ℝ}^{2n}):\frac{\partial f}{\partial p^i}=0\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n\}\cong L^2({ℝ}^n)$

반대로, 운동량 방향의 극성화

$\mathrm{Span}\left\{\frac{\partial }{\partial x}\right\}$

에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathscr{H}=\{f\in L^2({ℝ}^{2n}):\frac{\partial f}{\partial x^i}-2\pi i{p}_{i}f(x)=0\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n\}$

즉,

$f(x,p)=f(p)\exp \left(2\pi i\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i\right)$

의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.

유클리드 공간의 켈러 극성화

평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.틀:Rp

구체적으로, 위상 공간이 $2n$차원 유클리드 공간 ${ℝ}^{2n}$인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.

${\mathrm{\nabla }}_i=\frac{\partial }{\partial x_i}+x_i$

여기에 복소구조를 주어

${ℝ}^{2n}\cong {ℂ}^n$

$z_i=x_i+x_{i+n},i=1,\dots ,n$

$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y})$

$\frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y})$

으로 생각하고, 켈러 극성화

$𝒫={\mathrm{Span}}_{ℂ}\{{\frac{\partial }{\partial \overline{z}}}_1,\dots ,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\}$

를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L² 함수 $s:{ℂ}^n\to ℂ$가운데

${\mathrm{\nabla }}_{\partial /\partial z}s(z,\overline{z})=(2\frac{\partial }{\partial \overline{z}}+z)s(z,\overline{z})=0$

인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는

$s(z,\overline{z})=f(z)\exp (-\sum _i{z}_i{\overline{z}}^i/2)$

의 꼴이며, 여기서 $f:ℂ\to ℂ$는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.

$\underset{ℂ}{\int }|f(z){|}^2\exp (-\sum _i{z}_i{\overline{z}}_i)d^{2n}z<\mathrm{\infty }$

이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.

$s_{\alpha }=z^{\alpha }\exp (-z\overline{z}/2),\alpha \in {\mathbb{N}}^n$

이들은 $n$차원 조화 진동자의 $\alpha$번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간(틀:Llang)이라고 한다.

리만 구의 양자화

리만 구 $\widehat{ℂ}$ 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 $k$의 인자 $D$에 대응하는 선다발 $𝒪(D)$로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.

$\mathscr{H}(k)=\{f\in \mathrm{\Gamma }(𝒪(D)):\overline{\partial }f=0\}$

이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여

${\dim }_{ℂ}\mathscr{H}(k)=\max \{k+1,0\}$

이다. 이는 스핀 $k/2$의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, $k$를 $k-1$로 치환하여야 한다.)

보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 $D$에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간

$\mathscr{H}(D)=H^0(\mathrm{\Sigma },𝒪(D))$

을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.

콤팩트 켈러 다양체의 양자화

보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 $M$ 위에, 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여 곡률이 $k\omega$가 되는 복소수 정칙 선다발 ${ℒ}^{\otimes k}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지

$\mathscr{H}(k)=H^0(M,{ℒ}^{\otimes n})$

가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 $k$에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.틀:Rp

$\mathscr{H}(k)=\underset{M}{\int }\exp (k\omega )\mathrm{Td}M(k\gg 1)$

여기서 $\mathrm{Td}M$은 토드 특성류이다.

특히, $M$이 복소수 $n$차원이라면

$\underset{M}{\int }\exp (k\omega )\mathrm{Td}M=\sum _{i=0}^n\underset{M}{\int }\frac{k^i{\omega }^i}{i!}\mathrm{Td}M=k^n\underset{M}{\int }{\omega }^n/n!+\frac{1}{(n-1)!2}{k}^{n-1}\underset{M}{\int }\omega c_1+\cdots$

이 되므로, 고전 극한 $k\to \mathrm{\infty }$에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 $\underset{M}{\int }(k\omega {)}^n/n!$에 수렴하는 것을 알 수 있다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab