일반화 운동량

틀:위키데이터 속성 추적 라그랑주 역학에서 일반화 운동량(一般化運動量, 틀:Llang)은 역학계가 움직이는 정도를 나타내는 물리량으로, 라그랑지언의 일반화 속도에 대한 편미분이다. 오일러-라그랑주 방정식에 따라, 일반화 힘의 작용에 의해 바뀐다. 뉴턴 역학에서의 운동량과 각운동량은 일반화 운동량의 특수한 경우다.

정의

일반화 좌표 $q^{i}$ 에 대응하는 일반화 운동량 $p_{i}$ 는 라그랑지언 $L (q, \dot{q}, t)$ 의 일반화 속도 ${\dot{q}}^{i}$ 에 대한 편미분이다. 즉,

p_{i} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}}

.

각 좌표 $q^{i}$ 에 대하여 이에 대응하는 일반화 운동량 $p_{i}$ 가 존재한다.

일반화 운동량 또한 운동량처럼 어느 조건이 갖추어지면 운동 상수가 된다. 만약, 특정 일반화 좌표 $q^{i}$ 가 순환 좌표, 즉,

\frac{\partial L}{\partial q^{i}} = 0

라면 그에 해당하는 일반화 운동량 $p_{i}$ 가 보존되게 된다. 이는 오일러-라그랑주 방정식을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 먼저 오일러-라그랑주 방정식을 일반화 운동량을 통하여 써 보면

\frac{d}{d t} p_{i} - \frac{\partial L}{\partial q^{i}} = 0

이다. 그런데 $q^{i}$ 가 순환 좌표이므로,

\frac{d}{d t} p_{i} = 0

이 되어 일반화 운동량 $p_{i}$ 가 운동 상수가 됨을 알 수 있다.

특정 일반화 좌표에선 일반화 운동량이 뉴턴 역학의 운동량과 각운동량이 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 예를 들자면, 입자 하나가 있는 계에 대해 데카르트 좌표를 일반화 좌표로 쓰면 라그랑지언은 다음과 같아진다.

L = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - U (x, y, z)

가 된다. 일반화 운동량을 구해보면

p_{x} = m \dot{x}, p_{y} = m \dot{y}, p_{z} = m \dot{z}

가 되어 선운동량을 얻을 수 있다.

이번엔 2차원 평면 상에서 원운동을 하는 입자로 이루어진 계를 생각하자. 이 계를 나타내는 라그랑지언은 다음과 같다.

L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) - U (r, θ)

일반화 좌표 $θ$ 에 대한 일반화 운동량을 구해보면

p_{θ} = m r^{2} \dot{θ}

가 되어, 뉴턴 역학의 각운동량임을 확인할 수 있다.