엽층

틀:위키데이터 속성 추적 미분위상수학에서 엽층(葉層, 틀:Llang)은 매끄러운 다양체를 낮은 차원의 다양체들의 층으로 잘게 자른 것을 말한다.

정의

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의, $p$ 차원 잎으로의 엽층은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

열린 덮개 ${U_{i}}_{i \in I}$
매끄러운 사상 $ϕ_{i} : U_{i} \to ℝ^{n}$ . 이 경우 $ϕ_{i}$ 는 $U_{i}$ 와 $ϕ_{i} (U_{i})$ 사이의 미분 동형을 정의한다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

모든 $i, j \in I$ 에 대하여, 만약 $U_{i} \cap U_{j} \neq \emptyset$ 이라면 $ϕ_{i j} = ϕ_{j} \circ ϕ_{i}^{- 1} : ϕ_{i} (U_{i}) \to ℝ^{n}$ 은 다음과 같은 꼴이다.
$ϕ_{i j} (a, b) = (ϕ_{i j}^{1} (a), ϕ_{i j}^{2} (a, b)) (a \in ℝ^{n - p}, b \in ℝ^{p})$

각 $a \in ℝ^{n - p}$ 에 대하여,

M_{a} = ⋃ ϕ_{i}^{- 1} ({a} \times ℝ^{p})

는 $x$ 에 대응하는 엽층의 잎(틀:Llang)이라고 한다. 이는 정의에 따라 $p$ 차원 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다. (이는 일반적으로 매장이 아니다.)

엽층이 주어진 매끄러운 다양체 $M$ 위에서, 같은 잎에 속하는 점들을 동치라고 여기면, 이에 대한 몫공간인 엽공간(葉空間, 틀:Llang) $M / \sim$ 을 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 하우스도르프 공간이 아니다.

성질

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 의 접다발 $T M$ 의 $p$ 차원 매끄러운 부분 벡터 다발 $E \subset T M$ 이 주어졌다고 하자. 프로베니우스 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

(적분 가능성 틀:Llang) $N$ 의 단면은 리 괄호에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 벡터장 $X, Y \in Γ (E)$ 에 대하여, $[X, Y] \in Γ (E)$ 이다.
임의의 $x \in M_{a}$ 에 대하여 $E = T M_{a} \subset T M$ 가 되는 엽층 $(M_{a})_{a \in A}$ 이 존재한다.

접다발의 매끄러운 부분 벡터 다발은 분포(틀:Llang)라고 한다. 즉, 적분 가능 분포는 엽층과 동치인 개념이다.

예

올다발

F ↪ E \overset{π}{↠} B

이 주어졌다고 하고, 올 $F$ 와 전체 공간 $E$ 가 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 이는 엽층을 이룬다. 엽공간은 $B$ 이며, $b \in B$ 에 대응하는 잎은 원상 $π^{- 1} {b}$ 이다.

특수한 경우로, 곱공간 $E = F \times B$ 은 (자명한 올다발을 이루므로) 엽공간이 $B$ 인 엽층을 이룬다.

리 군

리 군 $G$ 와 $H$ 사이에 단사 몰입

H ↪ G

가 주어진다고 하자. 그렇다면, $G / H$ 는 엽층을 이룬다. 즉, 이 엽층에서 잎은 $G$ 는 $H$ 에 대한 잉여류이며, 엽공간은 몫공간 $G / H$ 이다.

만약 $H$ 의 상이 $G$ 속의 닫힌집합이라면, 몫공간 $G / H$ 는 (하우스도르프) 매끄러운 다양체가 되며, $G ↠ G / H$ 는 $H$ -주다발을 이룬다.

크로네커 엽층

원환면 $ℝ^{n} / ℤ^{n}$ 에서, 잎들이

M_{𝐱_{0}} = \frac{{𝐱_{0} + t 𝐯 : t \in ℝ}}{ℤ^{n}}

인 엽층을 주자 ( $v_{1} = 1$ ). 이 경우, 기울기 $𝐯$ 의 성분들이 모두 유리수라면 각 잎들은 원환면 속의 매끄럽게 매장된 원을 이룬다. 그러나 $v_{1}$ 을 제외한 성분들이 모두 무리수라면, 각 잎들은 매끄럽게 단사 몰입된 직선을 이룬다. 이 경우, 잎들은 매장된 부분 다양체가 아니라 몰입된 부분 다양체이다.

외부 링크

같이 보기

틀:전거 통제

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정의

성질

예

올다발

리 군

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