히르체브루흐-리만-로흐 정리

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 히르체브루흐-리만-로흐 정리(틀:Llang)는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다.

정의

콤팩트 복소다양체 $X$ 위에 해석적 벡터다발 $E \to X$ 가 있다고 하자. 그렇다면 $E$ 의 코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 $χ (E)$ 를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.

χ (E) = \int_{X} ch (E) Td (X)

여기서 $ch (E)$ 는 $E$ 의 천 지표, $Td (X)$ 는 $X$ 의 접다발의 토드 특성류다.

$X$ 가 리만 곡면이라고 하고, $E \to X$ 가 인자류 $[D]$ 에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면

χ (E) = h^{0} (E) - h^{1} (E)

ch (E) = 1 + c_{1} (E)

Td (X) = 1 + c_{1} (X) / 2

이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는

h^{0} (E) - h^{1} (E) = \int_{X} (c_{1} (E) + c_{1} (X) / 2)

이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류는 $c_{1}$ 이므로, $c_{1} (X)$ 는 $X$ 의 오일러 지표

\int_{X} c_{1} (X) = χ (X) = 2 - 2 g

이다. 여기서 $g$ 는 $X$ 의 종수(genus)다. 또한,

\int_{X} c_{1} (E) = \deg D

이다. 또한,

h^{0} (E) = I (D)

이고, 세르 쌍대성에 의하여

h^{1} (E) = h^{0} (𝒪 (K) \otimes E^{- 1}) = I (K - D)

( $K$ 는 표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리

I (D) - I (K - D) = \deg D + 1 - g

를 얻는다.

복소수 $n$ 차원 콤팩트 켈러 다양체 $M$ 의 경우, 오일러 지표는 돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,

χ (M) = \sum_{p, q} (- 1)^{p + q} h^{p, q} (M) = \sum_{n} (- 1)^{p} χ (⋀^{p} T_{ℂ}^{*} M)

이다. 여기서 $h^{p, q} (M)$ 는 호지 수이며, $T_{ℂ}^{*} M$ 은 $M$ 의 복소수 공변접다발이다.

분할 원리(틀:Llang)에 따라, $T_{ℂ} M$ 을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류가

(x_{i})_{i = 1, \dots, n}

라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 $- x_{i}$ 이다. 그렇다면,

⋀^{p} T_{ℂ}^{*} M

의 천 지표는 다음과 같다.

ch (⋀^{p} T_{ℂ}^{*} M) = \sum_{I \subseteq {1, 2, \dots, n}}^{| I | = p} \prod_{i \in I} \exp (- x_{i})

즉,

\sum_{p = 0}^{n} (- 1)^{p} ch (⋀^{p} T_{ℂ}^{*} M) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - \exp (- x_{i}))

이다. 따라서, $M$ 의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

χ (M) = \int_{M} Td (T M) \sum_{p = 0}^{n} (- 1)^{p} ch (⋀^{p} T_{ℂ}^{*} M) = \int_{M} \prod_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}}{1 - \exp (- x_{i})} (1 - \exp (- x_{i})) = \int_{M} \prod_{i = 1}^{n} x_{i} = \int_{M} c_{n} (T M)

즉, $M$ 의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.