시간 변화

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 물리학에서 시간 변화(時間變化, 틀:Lang)는 시간의 흐름에 따라 계의 상태가 바뀌는 과정이다.

양자역학에서의 시간 변화

양자역학의 슈뢰딩거 묘사에서, 시간 변화는 초기 시간 $t_0$의 상태 $|\psi ⟩(t_0)\in \mathscr{H}$를 나중 시간 $t$의 상태 $|\psi ⟩(t)\in \mathscr{H}$로 바꾸어 주는 연산자 $U(t,t_0):\mathscr{H}\to \mathscr{H}$로 나타낼 수 있다. 이를 시간 변화 연산자(時間變化演算子, 틀:Lang)라 한다.

$\begin{array}{cccc}U(t,t_0):& & \mathscr{H}& \to \mathscr{H}\\ & & |\psi ⟩(t_0)& \mapsto |\psi ⟩(t).\end{array}$

성질

상태가 관측될 확률이 보존되므로, 시간 변화 연산자는 유니터리 연산자이다. 상태가 관측될 확률이 보존된다는 것은

$⟨\psi (t_0)|\psi (t_0)⟩=⟨\psi (t)|\psi (t)⟩$

인 것을 말한다. 각 상태는 정규화되어 있으므로 양변이 모두 1이 된다. 이로부터

$U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=1$

을 얻을 수 있고, 즉, 시간변화 연산자는 유니터리이다.

또한, 시간 변화 연산자는 다음과 같이 군의 성질을 지닌다.

• $U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)=U(t_2,t_0)$
• $U(t_0,t_0)=1$
• $U(t,t_0)=U(t_0,t{)}^{-1}$.

만약 해밀토니언 $H$가 시간에 의존하지 않는다면, 시간 변화 연산자는 다음을 만족한다.

$U(t,t_0)=U(t+\mathrm{\Delta }t,t_0+\mathrm{\Delta }t)=U(t-t_0)$.

또한 이럴 경우 슈뢰딩거 방정식을 적분하여 시간 변화 연산자를 직접 다음과 같이 쓸 수 있다.

$U(t)=\exp (-it{H}_0/\hslash )$.

반대로, 시간 변화 연산자를 미분하여 해밀토니언을 얻을 수 있다.

$H_0=i\hslash \frac{dU(t)}{dt}$.

만약 해밀토니언이 시간에 의존한다면, 시간 변화 연산자는 다이슨 전개(틀:Lang)를 통해 나타낼 수 있다.

같이 보기

• 시간의 화살
• 전파 인자
• 해밀토니언 (양자역학)