퍼지 구

틀:위키데이터 속성 추적 비가환 기하학에서 퍼지 구(fuzzy球, 틀:Llang)는 일반적인 구를 비가환 공간으로 일반화한 경우다. 3차원 각운동량 연산자로 생성된다.

정의

스핀이 $j$ 인 SU(2) 표현 $J_{i}$ ( $i = 1, 2, 3$ )를 생각하자. 이들은 $(2 j + 1) \times (2 j + 1)$ 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

[J_{i}, J_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} J_{k}

여기서 $ϵ_{i j k}$ 는 3차원 레비치비타 기호다.

다음과 같은 총 각운동량 연산자를 생각하자.

𝐉^{2} = J_{1}^{2} + J_{2}^{2} + J_{3}^{2} = ℏ^{2} j (j + 1)

이제 다음과 같이 좌표 $𝐱$ 를 정의하자.

x_{i} = \frac{J_{i} R}{ℏ \sqrt{j (j + 1)}}

그렇다면

𝐱^{2} = R^{2}

이 되므로, $𝐱$ 를 반지름이 $R$ 인 구의 좌표로 생각할 수 있다. 이 비가환 공간을 퍼지 구(틀:Llang)라고 한다. 틀:Llang는 ‘흐릿한, 보풀이 이는’을 뜻하는 형용사로, 좌표의 비가환성을 보풀에 비유한 것이다.

퍼지 구의 좌표들 $x_{i}$ 는 서로 가환하지 않는다.

[x_{i}, x_{j}] = \frac{R}{\sqrt{j (j + 1)}} i ϵ_{i j k} x_{k}

다만, 각운동량이 매우 큰 고전적 극한 $j \to \infty$ 을 취하면, $[x_{i}, x_{j}] \to 0$ 이 되어 가환구로 수렴하게 된다.

퍼지 구 위의 함수는 $(2 j + 1) \times (2 j + 1)$ 에르미트 행렬이다. 이러한 함수 $F$ 의 미분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

𝐱 \times \nabla F = i \frac{\sqrt{j (j + 1)}}{R} [𝐱, F]

이는 $F = x_{i}$ 를 대입하면 올바른 결과를 얻는 것을 알 수 있다. 이를 사용하여 라플라스 연산자도 유사하게 정의할 수 있다.

적분은 대각합에 비례하게 다음과 같이 정의한다.

\int F = \frac{2 π R^{2}}{\sqrt{j (j + 1)}} tr (F)

이렇게 하면, 상수함수 $F = I$ (단위행렬)을 대입해 퍼지 구의 겉넓이를 구할 수 있다.

\int I = \frac{2 π R^{2}}{\sqrt{j (j + 1)}} tr (F) = 4 π R^{2} \frac{j + 1 / 2}{\sqrt{j (j + 1)}}

따라서 고전적 극한 $j \to \infty$ 를 취하면 겉넓이가 가환구의 겉넓이 $4 π R^{2}$ 로 수렴하는 것을 알 수 있다.

존 마도어(틀:Llang)가 1991년에 도입하였다.^[1]