라그랑주 부분 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 심플렉틱 기하학에서 라그랑주 부분 다양체(Lagrange部分多樣體, 틀:Llang)는 심플렉틱 형식의 당김이 0이 되어, 국소적으로 일반화 좌표(또는 일반화 운동량)의 부분 다양체로 간주할 수 있는 최대 차원 부분 다양체이다.

정의

$2n$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 속의 매끄러운 부분 다양체 $\iota :N\hookrightarrow M$가 다음 조건을 만족시킨다면, 등방성 부분 다양체(等方性部分多樣體, 틀:Llang)라고 한다.

${\iota }^{*}\omega =0$

즉, 심플렉틱 형식 $\omega$를 $N$에 국한하였을 때 0이 되어야 한다.

$2n$차원 심플렉틱 다양체의 $n$차원 등방성 부분 다양체를 라그랑주 부분 다양체(틀:Llang)라고 한다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 최대 차원의 등방성 부분 다양체이다.

이와 마찬가지로, 만약 $\iota$가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우, 마찬가지로 등방성 몰입(틀:Llang) 및 라그랑주 몰입(틀:Llang)을 정의할 수 있다.

라그랑주 올뭉치

라그랑주 올뭉치(틀:Llang)

$L\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }M\stackrel{\pi }{\twoheadrightarrow }B$

는 일반올 $L$이 전체 공간 $(M,\omega )$의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치이다. 이 경우, 합성 $\pi \circ \iota :L\to B$에서, $\pi$가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉 $n\times n$ 행렬 $D(\pi \circ \iota )$의 계수가 $n$ 미민인 점들의 집합

$\{b\in B:\mathrm{rank}D(\pi \circ \iota ){|}_b<n\}$

을 라그랑주 올뭉치의 초점면(焦點面, 틀:Llang)이라고 한다.

특수 라그랑주 부분 다양체

$2n$차원 켈러 다양체 $M$위의 부피 형식이 ${\omega }^n/n!$이며, $(n,0)$-복소수 미분 형식 $\mathrm{\Omega }$가

$\mathrm{\Omega }\wedge \overline{\mathrm{\Omega }}={\omega }^n/n!$

를 만족시킨다고 하자. $\mathrm{\Omega }$의 실수 성분과 허수 성분을 분해하자.

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1+i{\mathrm{\Omega }}_2,{\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2\in H^n(M;ℝ)$

그렇다면, $(M,\mathrm{\Omega })$ 속의 특수 라그랑주 부분 다양체(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 라그랑주 부분 다양체 $\iota :L\hookrightarrow M$이다.

${\iota }^{*}{\mathrm{\Omega }}_2=0$

칼라비-야우 다양체 속의 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭에서 등장한다.

성질

임의의 두 심플렉틱 다양체 $(M_1,{\omega }_1)$, $(M_2,{\omega }_2)$ 사이의 미분 동형

$f:M_1\to M_2$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $f$는 심플렉틱 사상이다. 즉, $f^{*}{\omega }_2={\omega }_1$이다.
• $f$의 그래프 $\{(x,f(x)):x\in M_1\}\subset M_1\times M_2$는 $(M_1\times M_2,{\omega }_1\oplus (-{\omega }_2))$의 라그랑주 부분 다양체이다.

예

심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간

$2n$차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 라그랑주 부분 벡터 공간(틀:Llang)이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 라그랑주 그라스만 다양체(틀:Llang)라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주자 (이는 표준적이지 않다). 그렇다면, 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathrm{LagGrass}(n)\cong \mathrm{U}(n)/\mathrm{O}(n)$

그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군

${\pi }_1(\mathrm{LagGrass}(n))\cong \mathbb{Z}$

이다. 이로부터 마슬로프 지표를 정의할 수 있다.

2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체

2차원 심플렉틱 다양체 $(\mathrm{\Sigma },\omega )$ 속의 매끄러운 곡선 $\gamma \subset \mathrm{\Sigma }$은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. (곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.)

예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 2차원 유클리드 공간 ${ℝ}^2=T^{*}ℝ$을 생각하자. 이 경우, 임의의 곡선 $\gamma \subset {ℝ}^2$은 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이 경우, $x$축으로의 사영

$\pi :{ℝ}^2\to ℝ$

$\pi :(x,p)\mapsto x$

을 정의한다면, 이 사영에 대한 곡선의 초점면은 기울기가 무한대가 되는 점(즉, 접선이 $p$축과 평행한 점)이다. 예를 들어, 타원

$\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2m}{p}^2=E$

은 해밀토니언 $H(x,p)=k{x}^2/2+p^2/2m$의 준위 부분 집합 $\{(x,p):H(x,p)=E\}$인 라그랑주 부분 다양체이며, 초점면은 운동량이 0이 되는 점

$\{\sqrt{2E/k},-\sqrt{2E/k}\}$

이다.

공변접다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 $T^{*}M$은 자연스럽게 심플렉틱 다양체를 이룬다. 임의의 매끄러운 함수 $S:M\to ℝ$에 대하여, 다음과 같은 $T^{*}M$의 부분 다양체를 정의하자.

$\{(x,{\partial }_{\mu }S(x)):x\in M\}\subset T^{*}M$

그렇다면 이는 $T^{*}M$의 라그랑주 분 다양체를 이룬다. 특히, 상수 함수 $S=0$일 경우 이는 $M\subset T^{*}M$는 라그랑주 부분 다양체를 이룬다.

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 마슬로프 지표
• 기하학적 양자화