층 코호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 층 코호몰로지(層 cohomology, 틀:Llang)는 아벨 군 값을 가진 층에 정의되는 호몰로지 이론이다. 대역 단면(global section) 함자의 유도 함자이다. 체흐 코호몰로지보다 더 추상적이지만, 대수기하학에서 다루기 더 편하다.

정의

$X$가 위상 공간이고, $ℱ$가 $X$ 위에 정의된, 아벨 군 값을 가진 층이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대역 단면(틀:Llang) 함자를 생각하자.

${\mathrm{\Gamma }}_X:ℱ\mapsto ℱ(X)$

이는 $X$ 위의 층들의 범주 $\mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab})$로부터 아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$로 가는 함자이며, 이는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있다. 또한, 범주 $\mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab})$에서는 단사 대상으로의 분해(injective resolution)가 항상 존재함을 보일 수 있다. 따라서 ${\mathrm{\Gamma }}_X$의 오른쪽 유도 함자 $R^i{\mathrm{\Gamma }}_X$를 정의할 수 있다. 층 코호몰로지$H^i(X,ℱ)$를 이 유도 함자들로 정의한다. 즉,

$H^i(X,ℱ)=R^i{\mathrm{\Gamma }}_X(ℱ)$

이다. 특히, $X$나 $ℱ$에 스킴이나 준연접층과 같은 구조가 추가로 존재해도 이를 무시하고 계산한다.

특이 코호몰로지와의 관계

$X$가 국소 축약 가능 공간이라고 하고, $G$가 임의의 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 $X$ 위의, $G$값을 가진 상수층(constant sheaf) $\underset{\_}{G}$의 층 코호몰로지 $H^i(X,\underset{\_}{G})$는 $G$ 계수를 가진 특이 코호몰로지 $H^i(X,G)$와 동형이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 단사층
• 르레 스펙트럼 열

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab