리우빌 미분 형식

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서, 리우빌 미분 형식(Liouville微分形式, 틀:Llang)은 매끄러운 다양체의 공변접다발(의 외대수) 위에 정의되는 표준적인 미분 형식이다. 그 외미분은 심플렉틱 다양체(또는 멀티심플렉틱 다양체)의 구조를 정의한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 자연수 $k\in \mathbb{N}$

그렇다면, $M$의 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}M$의 $k$차 올별 외대수

$E={\bigwedge }^k\mathrm{T}M$

를 생각하자. 그 국소 좌표는

$(x,p):x\in M,p\in E_x={\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M$

의 꼴이다. 이 경우 동형 사상

${\mathrm{T}}_{(x,p)}E\cong {\mathrm{T}}_{x}M\oplus E_x$

및

${\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_{(x,p)}E\cong {\bigwedge }^k(E_x\oplus {\mathrm{T}}_{x}M)\cong \underset{i=0}{\overset{k}{⨁}}{\bigwedge }^{k-i}{E}_x\otimes {\bigwedge }^i{\mathrm{T}}_{x}M={\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_{x}M\oplus E_x\otimes {\bigwedge }^{k-1}{\mathrm{T}}_{x}M\oplus \cdots \oplus {\bigwedge }^k{E}_x$

에 의하여, 사영 사상

$\pi :{\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_{(x,p)}E\twoheadrightarrow {\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_{x}M$

이 존재한다. 그렇다면, 임의의 점 $(x,p)\in M$에 대하여

$\theta {|}_{(x,p)}:{\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_{x}M\to ℝ$

$\theta {|}_{(x,p)}:w\mapsto p(\pi (w))(x\in M,p\in {\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M,w\in {\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_{x}E)$

를 정의할 수 있다. 이는 $E$ 위의 $k$차 미분 형식

$\theta \in {\mathrm{\Omega }}^k(E)$

를 정의한다. 이를 $E$ 위의 리우빌 미분 형식이라고 한다.

국소 좌표를 통한 정의

위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다. $x\in M$ 근처의 국소 좌표계 $x^i$를 생각하자. 이 경우 $E$의 국소 좌표는

$(x^i,p_{j_1{j}_2\dots j_k})$

의 꼴이다. 이 경우

$\theta =\frac{1}{k!}{p}_{i_1{i}_2\dots i_k}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_k}$

이다.

성질

매끄러운 다양체 $M$에 대하여, $E={\bigwedge }^k{\mathrm{T}}^{*}M$ 위의 리우빌 미분 형식 $\theta \in {\mathrm{\Omega }}^k(E)$가 주어졌을 때,

$\mathrm{d}\theta \in {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(E)$

는 $E$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 이룬다. 특히, $k=1$일 때, 공변접다발의 전체 공간 $E={\mathrm{T}}^{*}M$은 항상 표준적으로 심플렉틱 다양체를 이룬다.

예

$k=0$일 때, 0차 리우빌 미분 형식은 ${\bigwedge }^0{\mathrm{T}}^{*}M=M\times ℝ$ 위의 0차 미분 형식 (매끄러운 함수)

$\theta \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M\times ℝ,ℝ)$

$\theta :(x,t)\mapsto t$

이다.

$k>\dim M$일 때, ${\bigwedge }^k{\mathrm{T}}^{*}M=M$이므로, 이 경우 $k$차 리우빌 미분 형식은 0이다.

$k=\dim M$일 때, ${\bigwedge }^k{\mathrm{T}}^{*}M$은 선다발이다. $M$이 가향 다양체일 때, 임의의 부피 형식 $\omega$를 고르면, 이는 자명한 선다발로 여길 수 있다. 그렇다면

$\theta \in {\mathrm{\Omega }}^{\dim M}(M\times ℝ)$

${\theta }_{(x,t)}=t\omega {|}_x$

이다.

역사

조제프 리우빌의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Nlab