다중지표

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 다중지표(多重指標, 틀:Llang)는 자연수의 튜플이다. 다변수 미적분학에서 복잡한 미분 연산자를 간략히 표기하기 위하여 쓰인다.

정의

n차원 다중지표 $I=(I_1,I_2,\dots ,I_n)$은 ${\mathbb{N}}^n$의 원소다. 즉, $n$개의 음이 아닌 정수들의 수열이다. 다중지표들은 덧셈에 대하여 모노이드를 이룬다. 다중지표의 절댓값은 그 성분들의 합이다.

$|I|=\sum _{i=1}^n{I}_i\in \mathbb{N}$

조합론

다중지표의 계승은 각 성분들의 계승들의 곱이다.

$I!=\prod _{i=1}^n{I}_i!$

이를 통해, 다중지표의 이항계수도 정의할 수 있다.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{I}{J})=\frac{I!}{J!(I-J)!}=\prod _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{I_i}{J_i})$

다변수 미적분학

$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$이 $n$개의 변수들의 튜플이라고 하자. 만약 다중지표 $I\in {\mathbb{N}}^n$이 주어졌다면, 다중지표로의 지수를 다음과 같이 정의한다.

$x^I=x_1^{I_1}{x}_2^{I_2}\cdots x_n^{I_n}$

마찬가지로, $n$차원 매끄러운 다양체의 국소좌표계 $(\partial /\partial x^1,\partial /\partial x^2,\dots ,\partial /\partial x^n)$이 주어졌다면, 다중지표에 대한 편미분을 다음과 같이 정의한다.

${\partial }_I=\frac{\partial }{\partial x^I}=\frac{{\partial }^{I_1}}{(\partial x^1{)}^{I_1}}\frac{{\partial }^{I_2}}{(\partial x^2{)}^{I_2}}\cdots \frac{{\partial }^{I_n}}{(\partial x^n{)}^{I_n}}$

같이 보기

• 아인슈타인 표기법

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용