C* 대수

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 C* 대수(시스타 대수, 틀:Llang)는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.

정의

C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

• 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다.
• 사실, 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 대합 대수로 정의할 수 있다.
• 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다. 이 정의에서, 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

추상적 정의

복소수 벡터 공간 $A$ 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.

• $(A{,}^{*})$는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의 $a\in A$ 및 $\lambda \in ℂ$에 대하여 $(\lambda a{)}^{*}=\overline{\lambda }{a}^{*}$이다.)
• $(A,\Vert \Vert )$는 복소수 바나흐 대수이다.

그렇다면, $(A{,}^{*},\Vert \Vert )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 $(A{,}^{*},\Vert \Vert )$가 이를 만족시킨다면 C* 대수라고 한다.

• (C* 항등식 틀:Llang) $\Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert$
• (B* 항등식 틀:Llang) $\Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert$

(C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.)

일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.

대수적 정의

(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 $(A{,}^{*})$가 다음 조건을 만족시킨다면, C* 대수라고 한다.

• $a\mapsto \sup \mathrm{sp}(a^{*}a)$는 $A$ 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 $a\in A$에 대하여, 스펙트럼 $\mathrm{sp}(a^{*}a)\subseteq ℂ$는 유계 집합이다.
  • 임의의 $a\in A\setminus \{0\}$에 대하여, $1+\lambda a^{*}a$가 가역원이 아니게 만드는 복소수 $\lambda \in ℂ$가 존재한다.
  • (삼각 부등식) 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $\sup \mathrm{sp}(a^{*}a+b^{*}b+a^{*}b+b^{*}a)\le \sup \mathrm{sp}(a^{*}a)+\sup \mathrm{sp}(b^{*}b)$이다.
• $a\mapsto \sup \mathrm{sp}(a^{*}a)$는 완비 노름을 이룬다.

이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 $\Vert a\Vert =\sup \mathrm{sp}(a^{*}a)=\mathrm{sp}(a{a}^{*})$임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 $\mathrm{sp}(ab)\cup \{0\}=\mathrm{sp}(ba)\cup \{0\}$이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.

구체적 정의

복소수 대합 대수 $A$의 *-표현(틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 복소수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$
• 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 $\mathrm{B}(\mathscr{H},\mathscr{H})$로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 $\iota :A\hookrightarrow \mathrm{B}(\mathscr{H},\mathscr{H})$. 즉, $\iota$는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉, $\iota (a^{*})=\iota (a)*\mathrm{\forall }a\in A$. 여기서 우변의 $(-{)}^{*}$는 유계 작용소의 에르미트 수반이다.)

만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 C* 대수라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.)

겔판트-나이마르크 정리(Гельфанд-Наймарк定理, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 $A$의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$ 위의 작용

$\iota :A\to \mathrm{B}(\mathscr{H},\mathscr{H})$

가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 ${*}^{}$에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.

C* 대수의 원소

$A$가 C* 대수라고 하고, $x\in A$라고 하자.

• 만약 $y\in A$가 존재하여 $y^{*}y=x$라면, $x$를 음이 아닌 원소(陰-元素, 틀:Llang)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
• 만약 $x=x^{*}$라면, $x$를 자기 수반 원소라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.
• $x{x}^{*}=x^{*}x=1$이라면, $x$를 유니터리 원소라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
• $x$의 스펙트럼 $\sigma (x)\subset ℂ$는 $\lambda \cdot 1-x$가 가역원이 아니게 되는 $\lambda \in ℂ$들의 집합이다. 일반적으로, $\sigma (x^{*})=\overline{\sigma }(x)$이다.
• $x$의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 $\sup |\sigma (x)|=\nu (x)$를 $x$의 스펙트럼 반지름이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

  $\nu (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x^n{\Vert }^{1/n}$

연산

직합

유한 또는 무한 개의 C* 대수 $(A_i{)}_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간

${\widehat{⨁}}_{i\in I}{A}_i\subseteq \prod _{i\in I}{A}_i$

$a\in {\widehat{⨁}}_{i\in I}{A}_i⟺\underset{i\in I}{\sup }\Vert a_i{\Vert }_{A_i}<\mathrm{\infty }$

위에 균등 노름

$\Vert a{\Vert }_{{\widehat{⨁}}_i{A}_i}=\underset{i\in I}{\sup }\Vert a_i{\Vert }_{A_i}$

및 성분별 곱셈

$(ab{)}_i=a_i{b}_i(i\in I)$

을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은 $1_{{\widehat{⨁}}_i{A}_i}=(1_{A_i}{)}_{i\in I}$ 이다.

물론, 만약 $I$가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 $\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$과 같다.

몫대수

다음이 주어졌다고 하자.

• C* 대수 $A$
• $A$의 양쪽 아이디얼 $\Im \subseteq A$. 또한, $\Im$가 닫힌집합이라고 하자.

그렇다면, 그 몫환 $A/\Im$ 역시 C* 대수를 이룬다.

행렬 대수

C* 대수 $A$ 및 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 행렬 대수 $\mathrm{Mat}(n;A)$는 $A$ 성분의 $n\times n$ 정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 $V$에 대하여 $A\subseteq \mathrm{B}(V,V)$라면, $\mathrm{Mat}(n;A)\subseteq \mathrm{B}(V^{\oplus n},V^{\oplus n})$으로 여길 수 있다.

만약 $n=0$일 경우, 이는 자명환이다.

성질

C* 대수 사이의 사상

다음이 주어졌다고 하자.

• (항등원을 갖는) 두 C* 대수 $A$, $B$
• (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 $f:A\to B$. 즉, $f$는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 ($f(a^{*})=f(a{)}^{*}\mathrm{\forall }a\in A$).

그렇다면, $f$는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.

증명:

임의의 $a\in A$에 대하여, C* 항등식에 따라

$\Vert a{\Vert }_A^2=\Vert a^{*}a{\Vert }_A$

이다. $a^{*}a$는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 스펙트럼 반지름과 같다.

$\Vert a^{*}a{|}_A={\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_A(a^{*}a)$

$A$의 가역원의 상은 $B$의 가역원이므로 다음이 성립한다.

${\mathrm{sp}}_A(a^{*}a)\supseteq {\mathrm{sp}}_B(f(a^{*}a))$

여기서 $\mathrm{sp}(-)$는 스펙트럼이다. 특히

${\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_A(a^{*}a)\ge {\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_B(f(a^{*}a))$

이다. 이에 따라

$\Vert f(a){\Vert }_B^2=\Vert f(a^{*}a){\Vert }_B={\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_B(f(a^{*}a))\le {\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_A(a^{*}a)=\Vert a^{*}a{\Vert }_A=\Vert a{\Vert }_A^2$

이며, 즉 $\Vert f\Vert \le 1$이다.

또한, 만약 $f$가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, $\Vert a{\Vert }_A=\Vert f(a){\Vert }_B\mathrm{\forall }a\in A$이다.

이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 $\mathrm{C*Alg}$를 이룬다.

스펙트럼

틀:본문 C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 $A$의 원소 $a\in A$에 대하여

$\mathrm{sp}(a^{*})=\{\overline{\lambda }:\lambda \in \mathrm{sp}(a)\}$

이다.

C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 $\{z\in ℂ:|z|=1\}$의 부분 집합이다.

분류

모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.

예

자명한 C* 대수

한원소 집합 $\{\bullet \}$ 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.

유한 차원 C* 대수

임의의 유한 차원 C* 대수 $A$는 다음과 같은 꼴이다.

$A=\underset{i\in I}{⨁}\mathrm{Mat}(n,n;ℂ)$

여기서 $\mathrm{Mat}(n,n;ℂ)$는 작용소 노름이 부여된, $n\times n$ 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.

가환 C* 대수

(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 $A$의 스펙트럼(틀:Llang)은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.)

$\hat{A}=\mathrm{hom}(A,ℂ)\subseteq A^{*}$

즉, $A\to ℂ$ *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로,

$\hat{A}\subseteq \mathrm{cl}({\mathrm{ball}}_{A^{*}}(0,1))$

이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 $A^{*}$의 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 $\hat{A}$는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자

$\hat{A}:\mathrm{comC*Alg}\to {\mathrm{CompHausTop}}^{\mathrm{op}}$

를 정의한다. 여기서

• 정의역은 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수와, *-준동형들의 구체적 범주이다.
• 공역은 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수들의 구체적 범주의 반대 범주이다.

반대로, 다음과 같은 함자

${𝒞}^0(X,-):{\mathrm{CompHausTop}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}{\mathrm{C}}^{\mathrm{*}}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}$

를 정의할 수 있다.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, ${𝒞}^0(-,ℂ)$는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in X}{\sup }|f|$ 및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다.
• 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$, $Y$ 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$의 ${𝒞}^0(-,ℂ)$에 대한 상은 다음과 같다.

  ${𝒞}^0(f,ℂ):{𝒞}^0(Y,ℂ)\to {𝒞}^0(X,ℂ)$

  ${𝒞}^0(f,ℂ):\varphi \mapsto \varphi \circ f$

겔판트 표현 정리(Гельфанд表現定理, 틀:Llang)에 따르면, ${𝒞}^0(-,ℂ)$와 $\hat{A}$ 함자는 사실 두 범주 $\mathrm{comC*Alg}$와 ${\mathrm{CompHausTop}}^{\mathrm{op}}$ 사이의 범주의 동치를 정의한다.

특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 $A$에 대하여

$A\cong {𝒞}^0(\hat{A},ℂ)$

이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 $A$는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.

유계 작용소 대수

임의의 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 모든 유계 작용소들의 집합 $\mathrm{B}(V,V)$은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 $V={ℂ}^n$가 유한 차원이라면, 이는 $n\times n$ 복소수 행렬들로 구성된다.

콤팩트 작용소 대수

임의의 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 $\mathrm{K}(V,V)$은 $\mathrm{B}(V,V)$의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환

$\frac{\mathrm{B}(V,V)}{\mathrm{K}(V,V)}$

은 C* 대수를 이룬다. 이를 콜킨 대수(틀:Llang)라고 한다.

응용

C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.

겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.

같이 보기

• 바나흐 대수
• 작용소 K이론

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

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