근계

리 군 이론에서, 근계(根系, 틀:Llang)는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 근(根, 틀:Llang)이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(單純根, 틀:Llang)의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표(틀:Llang)로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 기약 근계(旣約根系, 틀:Llang)의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.

정의

유한 차원 실수 내적 공간 $(V, (\cdot, \cdot))$ 속의 부분 집합 $Φ \subseteq V$ 가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, 근계라고 한다.

(선형 생성) $V = {Span}_{ℝ} Φ$ . 즉, $V$ 의 모든 원소는 $Φ$ 의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
(스칼라배의 제한) $α \in Φ$ 라면, $- α \in Φ$ 이고, 그 밖의 다른 스칼라배 $t Φ$ ( $t \in ℝ$ )는 $Φ$ 의 원소가 아니다.
(반사에 대한 닫힘) 임의의 $α, β \in Φ$ 에 대하여, $α$ 에 대하여 수직인 초평면에 대한 $β$ 의 반사 $β - 2 α (α, β) / (α, α)$ 도 $Φ$ 의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
(정수성) $0 \in̸ Φ$ 이며, $\forall α, β \in Φ : 2 (α, β) / (α, α) \in ℤ$
유한 집합이다.

근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, 틀:Llang)는 $V$ 의 차원이다.

두 실수 내적 공간 $V$ , $V^{'}$ 및 그 속의 근계 $Φ \subseteq V$ , $Φ^{'} \subseteq V^{'}$ 에 대하여, 만약 $f (Φ) = Φ^{'}$ 가 되는 전단사 실수 선형 변환 $f : V \to V^{'}$ 이 존재하며, 또한

\frac{(f (α), f (β))_{V^{'}}}{(f (α), f (α))_{V^{'}}} = \frac{(α, β)_{V}}{(α, α)_{V}} \forall α, β \in Φ

라면, $(V, Φ)$ 와 $(V^{'}, Φ^{'})$ 를 서로 동형이라고 한다.

특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 $(V, (-, -)) \to (V, 2 (-, -))$ 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 $\sqrt{2}$ 로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 $1$ 또는 $\sqrt{2 / 3}$ 이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.

⟨ α, β ⟩ = \frac{2 (α, β)}{(α, α)}

(이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)

양근과 단순근

근계 $Φ$ 의 양근의 집합(陽根의 集合, 틀:Llang) $Φ^{+} \subset Φ$ 는 다음을 만족하는 부분집합이다.

임의의 $α \in Φ$ 에 대하여, $α \in Φ^{+}$ 이거나 $- α \in Φ^{+}$ 이지만, ${α, - α} \subset Φ^{+}$ 는 아니다.
$α, β \in Φ^{+}$ 이고, $α + β \in Φ$ 이면 $α + β \in Φ^{+}$ 이다.

양근의 집합의 원소를 양근(陽根, 틀:Llang)이라고 한다. 양근의 집합 $Φ^{+} \subseteq Φ$ 이 주어졌을 때, 격자

{v \in V : \forall α \in Φ : α^{\lor} (v) \in ℤ}

위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

u \leq v ⟺ \forall α \in Φ^{+} : α^{\lor} (v - u) \geq 0

이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.

단순근

어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, 단순근(單純根, 틀:Llang)은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 $V$ 의 기저를 이룬다.

카르탕 행렬

근계 $Φ$ 와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 $α_{1}, \dots, α_{r}$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 카르탕 행렬(틀:Llang) $M$ 은 다음과 같은 $r \times r$ 정사각 행렬이다.

M = (M_{i j})_{i, j = 1, \dots, r}

M_{i j} = 2 \frac{(α_{i}, α_{j})}{(α_{i}, α_{i})}

정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.

딘킨 도표

각 근계 $(V, Φ)$ 에 대하여, 딘킨 도표(Дынкин圖表, 틀:Llang)라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 $(V, Φ)$ 의 양근의 집합 $Φ^{+} \subseteq Φ$ 를 고르자.

딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다.
두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.

근 사이 각 (라디안)	근 사이 각 (°)	변의 종류
$π / 2$	90°	변 없음
$2 π / 3$	120°	하나의 변
$3 π / 4$	135°	두 개의 변 + 화살표
$5 π / 6$	150°	세 개의 변 + 화살표

딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.

성질

근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.

ℤ ∋ 2 \frac{(α, β)}{(α, α)} \cdot 2 \frac{(α, β)}{(β, β)} = 4 \frac{(α, β)^{2}}{| α |^{2} | β |^{2}} = 4 \cos^{2} (θ) = (2 \cos (θ))^{2} .

$2 \cos (θ) \in [- 2, 2]$ 이므로,

\cos θ = 0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1

이다. 즉, $θ$ 는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

연산

스칼라배

근계 $(V, Φ)$ 및 임의의 실수 $t \in ℝ ∖ {0}$ 및 임의의 직교 행렬 $M \in O (V; ℝ)$ 에 대하여, $(V, t M Φ)$ 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 $(V, Φ)$ 와 동형이다.

직합

두 근계 $(V, Φ)$ , $(V^{'}, Φ^{'})$ 가 주어졌을 때, 그 직합 $Φ \oplus Φ^{'}$ 은 다음과 같은 근계이다.

Φ \oplus Φ^{'} = ι (Φ) \cup ι^{'} (Φ^{'})

V \overset{ι}{\to} V \oplus V^{'} \overset{ι^{'}}{\leftarrow} V^{'}

여기서 $ι$ 와 $ι^{'}$ 은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

기약 근계(旣約根系, 틀:Llang)는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(틀:Llang), 짧은 것은 짧은 근(틀:Llang)으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 $\sqrt{2}$ 이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 $\sqrt{2}$ 로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) $1$ 로 잡는다.)

쌍대 근계

근계 $(V, Φ)$ 의 쌍대 근계(雙對根系, 틀:Llang)는 다음과 같다.

$V^{\lor}$ 는 $V$ 의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 $V \to V^{\lor}$ 이 존재한다.
$Φ^{\lor} = {α^{\lor} : α \in Φ}$
임의의 $u, v \in V$ 에 대하여, $u^{\lor} \in V^{*}$ , $u^{\lor} (v) = ⟨ u, v ⟩ = 2 (u, v) / (u, u)$

그렇다면 $(V^{\lor}, Φ^{\lor})$ 역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 $(V, Φ)$ 는 그 이중 쌍대 근계 $(V^{\lor \lor}, Φ^{\lor \lor})$ 와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, $B_{n}$ 의 쌍대 근계는 $C_{n}$ 이다. 다른 단순 근계들( $A_{n}$ , $D_{n}$ , $E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}$ )은 스스로의 쌍대 근계이다.

분류

기약 근계의 목록

기약 근계는 다음과 같이 분류한다. 고전 근계(틀:Llang)는 네 개의 족 $A_{n}$ , $B_{n}$ , $C_{n}$ , $D_{n}$ 으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외 근계(틀:Llang) $G_{2}, F_{4}, E_{6}, E_{7}, E_{8}$ 이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 $\sqrt{2}$ 가 되도록 정규화하였다.^[1]

근계	근의 수	짧은 근 수	긴 근 부분격자의 지표	카르탕 행렬식	바일 군의 크기	콕서터 수 $h$	이중 콕서터 수 $h^{\lor}$	딘킨 도표	콕서터 라벨^[2]틀:Rp	이중 콕서터 라벨^[2]틀:Rp
A_n (n ≥ 1)	n(n + 1)			n + 1	(n + 1)!	$n + 1$		$∙ - ∙ - \dots - ∙$	$1 - 1 - \dots - 1$
B_n (n ≥ 2)	2n²	2n	2	2	2ⁿ n!	$2 n$	$2 n - 1$	$∙ - ∙ - \dots - ∙ \Rightarrow ∙$	$1 - 2 - \dots - 2 \Rightarrow 2$	$1 - 2 - \dots - 2 \Rightarrow 1$
C_n (n ≥ 3)	2n²	2n(n − 1)	2	2	2ⁿ n!	$2 n$	$n + 1$	$∙ - ∙ - \dots - ∙ \Leftarrow ∙$	$2 - 2 - \dots - 2 \Leftarrow 1$	$1 - 1 - \dots - 1 \Leftarrow 1$
D_n (n ≥ 4)	2n(n − 1)			4	2^n − 1 n!	$2 n - 2$		$∙ - ∙ - \dots - ∙ < \binom{∙}{∙}$	$1 - 2 - \dots - 2 < \binom{1}{1}$
E₆	72			3	2⁷×3⁴×5	12		$\binom{∙ - ∙}{∙ - ∙} > ∙ - ∙$	$\binom{1 - 2}{1 - 2} > 3 - 2$
E₇	126			2	2¹⁰×3⁴×5×7	18		$\binom{∙}{} \binom{-}{} \binom{∙}{∙} > ∙ - ∙ - ∙ - ∙$	$\binom{2}{} \binom{-}{} \binom{3}{2} > 4 - 3 - 2 - 1$
E₈	240			1	2¹⁴×3⁵×5²×7	30		$\binom{∙}{} \binom{-}{} \binom{∙}{∙} > ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙$	$\binom{2}{} \binom{-}{} \binom{4}{3} > 6 - 5 - 4 - 3 - 2$
F₄	48	24	4	1	2⁷×3²	12	9	$∙ - ∙ \Rightarrow ∙ - ∙$	$2 - 3 \Rightarrow 4 - 2$	$2 - 3 \Rightarrow 2 - 1$
G₂	12	6	3	1	2²×3	6	4	$∙ ⇛ ∙$	$2 ⇛ 3$	$2 ⇛ 1$

고전적 기약 근계

$A_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 $ℝ^{n + 1}$ 의 원소로 표기하였다.)

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

$B_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다.

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n - 1} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

α^{n} = (0, 0, \dots, 0, 1)

$C_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다.

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n - 1} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

α^{n} = (0, 0, \dots, 0, 2)

$D_{n}$ 형 근계의 단순근은 다음과 같다.

α^{1} = (1, - 1, 0, \dots, 0, 0)

α^{2} = (0, 1, - 1, \dots, 0, 0)

⋮

α^{n - 1} = (0, 0, \dots, 1, - 1)

α^{n} = (0, 0, \dots, 1, 1)

예외적 기약 근계

예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

E₈
1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½

F₄
1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	0
-½	-½	-½	-½

G₂
$\sqrt{2 / 3}$	0
$- \sqrt{3 / 2}$	$1 / \sqrt{2}$

예

낮은 차원의 근계

0차원 근계는 (자명하게) 하나 밖에 없다.

1차원 근계는 하나 밖에 없으며, ${- \sqrt{2}, \sqrt{2}} \subset ℝ$ 이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, $B_{2}$ 와 $C_{2}$ 는 서로 동형이며, $A_{1} \times A_{1}$ 과 $D_{2}$ 역시 서로 동형이다.)


$A_{1} \times A_{1}$	$A_{2}$	$B_{2}$

$C_{2}$	$D_{2}$	$G_{2}$

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.

반단순 리 대수에 대응되는 근계

틀:본문 복소수체 위의 반단순 리 대수 $𝔤$ 및 그 카르탕 부분 대수 $𝔥 \subseteq 𝔤$ 가 주어졌다고 하자. $𝔥$ 는 $𝔤$ 의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.

그렇다면, $𝔤$ 의 딸림표현에 대응하는 $𝔥$ -무게들

Φ = {α \in 𝔥^{\lor} : 𝔤_{α} \neq 0} \subseteq 𝔥^{\lor}

을 생각하자. 그렇다면, $(𝔥^{\lor}, Φ)$ 는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.

$𝔤$ 의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 $(𝔥^{\lor}, Φ)$ 의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

역사

근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.

각주

틀:각주

Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

외부 링크

같이 보기

틀:위키공용분류

틀:전거 통제

↑ 틀:서적 인용
↑ ^2.0 ^2.1 틀:서적 인용

[1] 틀:서적 인용

[Fuchs-2] 2.0 ^2.1 틀:서적 인용

[1]

[2]

근계

목차