무게 (표현론)

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수 이론에서, 무게(틀:Llang)는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.

정의

체 $K$에 대한 리 대수 $𝔤$의 무게 $\lambda \in {𝔤}^{\vee }$는 다음 성질을 만족시키는 $K$-선형 범함수이다. (여기서 $(-{)}^{\vee }$는 쌍대 공간이다.)

$\lambda ([a,b])=0\mathrm{\forall }a,b\in 𝔤$

무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수 $𝔤$의 무게는 그 가환화 $𝔤/[𝔤,𝔤]$의 무게로 제한될 수 있다. 즉, $𝔤$의 무게는 $(𝔤/[𝔤,𝔤]{)}^{*}$의 원소를 정의한다.

무게 가군

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$-리 대수 $𝔤$
• $𝔤$의 표현 $𝔤\to 𝔤𝔩(V;K)$
• $𝔤$의 무게 $\lambda \in {𝔤}^{*}$

그렇다면, $V$ 속의, 무게 $\lambda$의 무게 공간(틀:Llang) $V_{\lambda }$는 $V$의 다음과 같은 부분 공간이다.

$V_{\lambda }=\{v\in V:\mathrm{\forall }a\in 𝔤:av=\lambda (a)v\}$

$V_{\lambda }\ne \{0\}$이라면 $\lambda$를 $V$의 무게라고 하고, 무게 공간의 원소를 무게 벡터(틀:Llang)라고 한다.

만약 $V$가 그 무게 공간들의 직합이라면, $V$를 $𝔤$의 무게 가군(-加群, 틀:Llang)이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자. $V$ 속의, 무게 $\lambda$의 일반화 무게 공간(틀:Llang) $V_{\lambda }$는 $V$의 다음과 같은 부분 공간이다.틀:Rp

$V_{\lambda }=\{v\in V:\mathrm{\forall }a\in 𝔤:\mathrm{\exists }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:(a-\lambda (a){)}^{n}v=v\}$

$V_{\lambda }\ne \{0\}$이라면 $\lambda$를 $V$의 일반화 무게(틀:Llang)라고 하고, 무게 공간의 원소를 일반화 무게 벡터(틀:Llang)라고 한다. (유한 차원 $V$의 경우 사실 항상 $n=\dim V$로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 일반화 무게 가군(틀:Llang)이라고 한다.

성질

복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수 $𝔫$의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.틀:Rp

복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 $𝔞$의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게

만약 $𝔤$가 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 $𝔥\subseteq 𝔤$를 고르자. $[𝔤,𝔤]=𝔤$이므로, $𝔤$ 위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수 $𝔥$는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, $𝔤$의 모든 유한 차원 표현은 ($𝔥$에 제한되었을 때) $𝔥$의 무게 가군을 이룬다.

딸림표현 $V=𝔤$의 $𝔥$-무게들을 $𝔤$의 근(根, 틀:Llang)이라고 하며, 이들은 ${𝔥}^{*}$의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근 $\lambda$에 대응하는 쌍대근(雙對根, 틀:Llang) ${\lambda }^{\vee }\in 𝔥$은

${\lambda }^{\vee }=\frac{2\lambda }{⟨\lambda ,\lambda ⟩}$

이다.

단순 리 대수의 무게

$𝔤$가 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 $𝔥\subseteq 𝔤$를 고르자. $𝔤$의 정수 무게(整數-, 틀:Llang) $\lambda \in {𝔥}^{*}$는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.

• 모든 쌍대근 ${\gamma }^{\vee }=2\gamma /⟨\gamma ,\gamma ⟩$에 대하여, $\lambda ({\gamma }^{\vee })\in \mathbb{Z}$. (다시 말해, 모든 근 $\gamma$에 대하여, $2⟨\lambda ,\gamma ⟩/⟨\gamma ,\gamma ⟩\in \mathbb{Z}$.)

정수 무게들의 집합 $P(𝔤,𝔥)\subseteq 𝕙$는 (덧셈군으로서) ${\mathbb{Z}}^{\oplus \dim 𝔥}$와 동형이며, 이를 정수 무게 격자(틀:Llang)라고 한다.

$𝔤$의 근계의 양근 ${\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥)\subseteq \mathrm{\Delta }(𝔤,𝔥)$ 및 이를 생성하는 단순근 $\mathrm{S}(𝔤,𝔥)\subseteq {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥)$를 고르자. 그렇다면, $𝔤$의 기본 무게(基本-, 틀:Llang) ${\lambda }_i$는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합 $\mathrm{S}(𝔤,𝔥)=({\alpha }_i{)}_{i\in \{1,\dots ,{\dim }_{𝕙}\}}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 $({\omega }_i{)}_{i\in \{1,\dots ,{\dim }_{𝕙}\}}\subseteq 𝔥$이다.

$2\frac{⟨{\omega }_i,{\alpha }_j⟩}{⟨{\alpha }_j,{\alpha }_j⟩}={\delta }_{ij}$

이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.

$𝔤$의 우세 무게(優勢-, 틀:Llang)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게 $\gamma \in 𝔥$가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근) $\alpha$에 대하여

$⟨\gamma ,\alpha ⟩\ge 0$

인 것이다. $𝔤$의 우세 정수 무게(優勢-, 틀:Llang)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 기본 바일 방(틀:Llang)이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

무게	⊃	정수 무게	⊃	근	⊃	양근	⊃	단순근
∪		∪
우세 무게	⊃	우세 정수 무게	⊃	기본 무게
		⟒
		영벡터 (0)

여기서

• 밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
• 기울어지게 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.

예

다음과 같은 A₂ 근계를 생각하자.

여기서

• 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 화살표의 머리들($\pm {\gamma }_1$, $\pm {\gamma }_2$, $\pm ({\gamma }_1+{\gamma }_2)$)은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
• 양근은 ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2$, ${\gamma }_1+{\gamma }_2$이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
• 단순근은 ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2$이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
• 기본 무게는 ${\omega }_1$, ${\omega }_2$이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B₂ 근계를 생각하자.

여기서

• 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 격자 $\mathbb{Z}\alpha +\mathbb{Z}\beta /2$의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• $\mathbb{N}(\alpha +\beta )+\mathbb{N}(\alpha +\beta /2)$의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 화살표의 머리들($\pm \alpha$, $\pm \beta$, $\pm (\alpha +\beta )$ $\pm (2\alpha +\beta )$)은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
• 양근은 $\alpha$, $\beta$, $\alpha +\beta$, $2\alpha +\beta$이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
• 단순근은 $\alpha$, $\beta$이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
• 기본 무게는 $\alpha +\beta$, $\alpha +\beta /2$이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

같이 보기

• 리 대수의 표현
• 근계

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab