E₈

리 군론에서 E₈은 복소수 예외적 단순 리 군 가운데 가장 큰 것이다.^[1]^[2]^[3] 다른 모든 예외적 단순 복소 리 군을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해(틀:Lang), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.

정의

E₈은 다양한 방법으로 정의할 수 있다.

SO(16)을 통한 정의

E₈의 리 대수 $𝔢_{8}$ 은 다음과 같이 정의될 수 있다.^[4] $𝔢_{8}$ 의 고전적인 부분 리 대수 가운데 가장 큰 것은 $𝔬 (16)$ 이므로, 이를 써서 정의하자. 이 경우, $𝔢_{8} ⊋ 𝔬 (16)$ 에 의하여, $𝔢_{8}$ 의 248차원 딸림표현은 $𝔬 (16)$ 의 $(\binom{16}{2}) = 120$ 차원 딸림표현과 $𝔰 𝔬 (16)$ 의 $2^{16 / 2 - 1} = 128$ 차원 마요라나-바일 스피너로 분해된다. 즉, $Spin (16)$ 의 스피너 공간을 $V$ 라고 할 때,

𝔢_{8} = 𝔰 𝔬 (16; ℝ) \oplus V

가 된다.

구체적으로, $𝔬 (16)$ 의 생성원을 $J_{i j}$ 로 표현하자. 스핀 군 Spin(16)은 마요라나-바일 스피너 $Q_{a}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

[J_{i j}, J_{k ℓ}] = δ_{j k} J_{i ℓ} - δ_{j ℓ} J_{i k} - δ_{i k} J_{j ℓ} + δ_{i ℓ} J_{j k}

[J_{i j}, Q_{a}] = \frac{1}{4} (γ_{i} γ_{j} - γ_{j} γ_{i})_{a b} Q_{b},

여기서 $γ_{i}$ 는 16차원 디랙 행렬이다.

이제, 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.

[Q_{a}, Q_{b}] = γ_{a c}^{[i} γ_{c b}^{j]} J_{i j}

이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기 동형군으로 정의할 수 있다.

콤팩트 형식 대신, 다른 실수 형식도 위와 같이 정의될 수 있다. SO(16)의 총 10개의 실수 형식 ( $SO (0, 16), \dots, SO (8, 8), {SO}^{*} (16)$ ) 가운데, 128차원 마요라나-바일 스피너를 가질 필요 충분 조건은 부호수 $(p, q)$ 에 대하여 $p \equiv q (\mod 8)$ 인 것이다. 즉, 이 조건을 만족시키는 것은 $(p, q) \in {(0, 16), (4, 12), (8, 8)}$ 밖에 없다. 로마자 부호로 이들은

SO (16) = 𝖣_{8 (- 120)}

(콤팩트)

SO (4, 12) = 𝖣_{8 (- 24)}

SO (8, 8) = 𝖣_{8 (8)}

(분할)

이며, 이들은 각각 E₈의 세 실수 형식 E_8(−248) (콤팩트), E₈₍₋₂₄₎, E₈₍₈₎ (분할)에 대응한다.

기타 정의

E₈은 팔원수를 사용하여 정의할 수 있다.^[5]틀:Rp

15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.^[6]

실수 형식

E₈은 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군	극대 콤팩트 리 부분군	사타케 도표	보건 도표
E_8(−248)		콤팩트 형식	1	1	E_8(−248)	$∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{\|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙$	$\circ - \circ - \overset{\binom{\circ}{\|}}{\circ} - \circ - \circ - \circ - \circ$
E₈₍₈₎	EⅧ	갈린(split) 형식	$ℤ / 2 ℤ$	1	PSpin(16)	$\circ - \circ - \overset{\binom{\circ}{\|}}{\circ} - \circ - \circ - \circ - \circ$	$∙ - \circ - \overset{\binom{\circ}{\|}}{\circ} - \circ - \circ - \circ - \circ$
E₈₍₋₂₄₎	EⅨ		$ℤ / 2 ℤ$	1	(E₇×SU(2)) / (−1,−1)	$\circ - ∙ - \overset{\binom{∙}{\|}}{∙} - ∙ - \circ - \circ - \circ$	$\circ - \circ - \overset{\binom{\circ}{\|}}{\circ} - \circ - \circ - \circ - ∙$

성질

대수적 성질

E₈의 주요 극대 부분군들은 다음을 들 수 있다.

$(E_{7} \times SU (2)) / (ℤ / 2)$ .^[3]틀:Rp 이는 E₈의 $ℤ / 2$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, $\otimes$ 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 $\circ$ 을 제거하여 얻는다.
$∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - \circ \to ∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - \circ - \otimes \to ∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ \otimes$
$Spin (16) / (ℤ / 2)$ .^[3]틀:Rp 이는 E₈의 또다른 $ℤ / 2$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, $\otimes$ 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 $\circ$ 을 제거하여 얻는다.
$\circ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ \to \circ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - \otimes \to ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - \otimes$
$(E_{6} \times SU (3)) / (ℤ / 3)$ .^[3]틀:Rp 이는 E₈의 $ℤ / 3$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, $\otimes$ 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 $\circ$ 을 제거하여 얻는다.
$∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - \circ - ∙ \to ∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - \circ - ∙ - \otimes \to ∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ ∙ - \otimes$
$SU (9) / (ℤ / 3)$ .^[3]틀:Rp 이는 E₈의 또다른 $ℤ / 3$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, $\otimes$ 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 $\circ$ 을 제거하여 얻는다.
$∙ - ∙ - \overset{\binom{\circ}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ \to ∙ - ∙ - \overset{\binom{\circ}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - \otimes \to ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - \otimes$
$(SU (5) \times SU (5)) / (ℤ / 5)$ .^[3]틀:Rp 이는 E₈의 $ℤ / 5$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, $\otimes$ 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 $\circ$ 을 제거하여 얻는다.
$∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - \circ - ∙ - ∙ - ∙ \to ∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - \circ - ∙ - ∙ - ∙ - \otimes \to ∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} ∙ - ∙ - ∙ - \otimes$

위상수학적 성질

E₈의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.^[7]

π_{3} (E_{8}) ≅ π_{15} (E_{8}) ≅ ℤ

π_{n} (E_{8}) ≅ 0, n < 15, n \neq 3

$𝔢_{8}$ 의 불변 다항식의 차수는 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30이다. 즉, E₈의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 15차 · 23차 · 27차 · 35차 · 39차 · 47차 · 59차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

근계

E₈의 근계는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E₈의 SO(16) 부분군을 사용하면, E₈ 근계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

다음과 같은 꼴의 $2 \cdot (\binom{8}{2}) + 8 \cdot 7 = 112$ 개의 근 (이는 SO(16) 근계를 이룬다):
$(\pm 1, \pm 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)$ 의 모든 순열 (복부호 동순일 필요 없음)
다음과 같은 꼴의 $2^{8} / 2 = 128$ 개의 근 (이는 SO(16)의 128 스피너 표현의 무게를 이룬다):
$(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ (복부호 동순일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 것들

E₈의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 고른 폴리토프 4₂₁의 꼭짓점을 이룬다.

E₈의 바일 군은 크기가 2¹⁴×3⁵×5²×7=696729600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

Weyl (E_{8}) ≅ O^{+} (8; 𝔽_{2})

이는 2차 순환군 $ℤ / 2$ 를 크기가 174182400인 유일한 단순군 ${P S Ω}^{+} (8; 𝔽_{2})$ 로 확대한 뒤, 다시 2차 순환군 $ℤ / 2$ 로 확대한 것이다.^[8]틀:Rp

E₈의 딘킨 도표는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 (틀:Llang). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.

∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙

E₈의 아핀 딘킨 도표는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 $\otimes$ 로 표기한 꼭짓점이 추가된다.

∙ - ∙ - \overset{\binom{∙}{|}}{∙} - ∙ - ∙ - ∙ - ∙ - \otimes

표현론

E₈의 기약 표현의 차원은 다음과 같다 틀:OEIS.^[9]틀:Rp

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960…

E₈의 바일 군은 $v \mapsto - v$ 를 포함하므로, E₈은 복소수 표현을 갖지 않으며, 또한 E₈의 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E₈은 사원수 표현을 갖지 않는다.

E₈의 기본 표현은 248, 3875, 30380 , 147250, 6696000, 2450240, 146325270, 6899079264이다. 이 가운데 가장 작은 248은 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.^[9]틀:Rp

𝟑 𝟖 𝟕 𝟓 - 𝟔 𝟔 𝟗 𝟔 𝟎 𝟎 𝟎 - \overset{\binom{𝟏 𝟒 𝟕 𝟐 𝟓 𝟎}{|}}{𝟔 𝟖 𝟗 𝟗 𝟎 𝟕 𝟗 𝟐 𝟔 𝟒} - 𝟏 𝟒 𝟔 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 𝟕 𝟎 - 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 𝟐 𝟒 𝟎 - 𝟑 𝟎 𝟑 𝟖 𝟎 - 𝟐 𝟒 𝟖

E₈의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.^[9]틀:Rp

{𝟐 𝟒 𝟖}_{E_{8}} \to (𝟏 𝟑 𝟑, 𝟏)_{E_{7} \times SU (2)} \oplus (𝟏, 𝟑)_{E_{7} \times SU (2)} \oplus (𝟓 𝟔, 𝟐)_{E_{7} \times SU (2)}

{𝟐 𝟒 𝟖}_{E_{8}} \to (𝟕 𝟖, 𝟏)_{E_{6} \times SU (3)} \oplus (𝟏, 𝟖)_{E_{6} \times SU (3)} \oplus (𝟐 𝟕, 𝟑)_{E_{6} \times SU (3)} \oplus (\overline{𝟐 𝟕}, \overline{𝟑})_{E_{6} \times SU (3)}

{𝟐 𝟒 𝟖}_{E_{8}} \to {𝟏 𝟐 𝟎}_{SO (16)} \oplus {𝟏 𝟐 𝟖}_{SO (16)}

{𝟐 𝟒 𝟖}_{E_{8}} \to {𝟖 𝟎}_{SU (9)} \oplus {𝟖 𝟒}_{SU (9)} \oplus {\overline{𝟖 𝟒}}_{SU (9)}

{𝟐 𝟒 𝟖}_{E_{8}} \to (𝟐 𝟒, 𝟏)_{SU (5)^{2}} \oplus (𝟏, 𝟐 𝟒)_{SU (5)^{2}} \oplus (𝟓, \overline{𝟏 𝟎})_{SU (5)^{2}} \oplus (\overline{𝟓}, 𝟏 𝟎)_{SU (5)^{2}} \oplus (𝟏 𝟎, 𝟓)_{SU (5)^{2}} \oplus (\overline{𝟏 𝟎}, \overline{𝟓})_{SU (5)^{2}}

대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 $𝔢_{8} (ℤ)$ 및 군 $E_{8} (ℤ)$ 을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 $R$ 에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 $𝔽_{q}$ 에 대한 계수의 슈발레 군 $E_{8} (𝔽_{q})$ 의 크기는 다음과 같다.

| E_{8} (𝔽_{q}) | = q^{120} (q^{30} - 1) (q^{24} - 1) (q^{20} - 1) (q^{18} - 1) (q^{14} - 1) (q^{12} - 1) (q^{8} - 1) (q^{2} - 1)

이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. 틀:OEIS

| E_{8} (𝔽_{2}) | \approx 3.38 \times 1 0^{74}

| E_{8} (𝔽_{3}) | \approx 1.88 \times 1 0^{118}

$| E_{8} (𝔽_{2}) |$ 는 이미 괴물군보다 더 크며, 이는^[8] 에 수록된 마지막 군이다.

역사

빌헬름 킬링이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지 않았다. 엘리 카르탕이 1894년 박사 학위 논문^[10]에서 그 존재를 엄밀히 증명하였으며, E₈이 세 실수 형식을 지님을 보였다.

응용

잡종 끈 이론은 변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E₈×E₈의 게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E₈은 E₆, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형 및 대통일 이론을 재현할 수 있다. 이를 축소화하면 두 E₈ 가운데 하나는 자연스럽게 E₆로 깨지게 된다.

같이 보기

각주

틀:각주

외부 링크

↑ 틀:저널 인용
↑ 틀:서적 인용
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 ^3.5 틀:저널 인용
↑ Green, Schwarz, and Witten, Superstring Theory, 1987.
↑ 틀:저널 인용 오류 정정 틀:저널 인용
↑ 틀:저널 인용
↑ 틀:저널 인용
↑ ^8.0 ^8.1 틀:서적 인용
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 틀:저널 인용
↑ 틀:저널 인용

[1] 틀:저널 인용

[2] 틀:서적 인용

[Yokota-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 ^3.5 틀:저널 인용

[4] Green, Schwarz, and Witten, Superstring Theory, 1987.

[Baez-5] 틀:저널 인용 오류 정정 틀:저널 인용

[6] 틀:저널 인용

[7] 틀:저널 인용

[atlas-8] 8.0 ^8.1 틀:서적 인용

[Slansky-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 틀:저널 인용

[10] 틀:저널 인용

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

E₈

목차

정의

SO(16)을 통한 정의

기타 정의

실수 형식

성질

대수적 성질

위상수학적 성질

근계

표현론

대수기하학적 성질

역사

응용

같이 보기

각주

외부 링크

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E₈

정의

SO(16)을 통한 정의

기타 정의

실수 형식

성질

대수적 성질

위상수학적 성질

근계

표현론

대수기하학적 성질

역사

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