고전군

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서, 고전군(古典群, 틀:Llang)은 실수, 복소수, 또는 사원수 계수의, 특별한 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각 행렬로 구성되는 리 군이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) 단순 리 군을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 F₄, G₂, E₆, E₇, E₈ 밖에 없다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 $K\in \{ℝ,ℂ,ℍ\}$ (실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수)
• $K$ 위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간) ${}_{K}V\cong {}_K{K}^{\oplus n}$
• 실수 결합 대수의 준동형 $\sigma :K\to K^{\mathrm{op}}$, $\sigma \in \{\mathrm{id},a\mapsto \overline{a}\}$. 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 ($K\in \{ℂ,ℍ\}$일 때) 켤레 연산이다.
  • 특히, $K=ℍ$일 때, $\mathrm{id}:ℍ\to ℍ$는 환 준동형이 아니므로, $\sigma :a\mapsto \overline{a}$이어야 한다. 따라서, $(K,\sigma )\in \{(ℝ,\mathrm{id}),(ℂ,\mathrm{id}),(ℂ,a\mapsto \overline{a}),(ℍ,a\mapsto \overline{a})\}$ 네 가지가 있다.
• $V$ 위의 함수 $Q:V\times V\to K$. 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  $Q(ua,vb)=\sigma (a)Q(u,v)b\mathrm{\forall }u,v\in V,a,b\in K$

그렇다면, 이 데이터로 정의되는 고전군은 다음과 같은 부분군이다.

$G=\{T\in \mathrm{GL}(V;K):Q(Tu,Tv)=Q(u,v)\mathrm{\forall }u,v\in V\}$

분류

$V$ 위의, 위와 같은 함수 $Q:V\times V\to K$는 항상 다음과 같이 분해된다.

$Q(u,v)=Q^{+}(u,v)+Q^{-}(u,v)$

$Q^{\pm }(u,v)=\frac{1}{2}(Q(u,v)\pm \sigma (Q(v,u)))$

그렇다면, $Q^{\pm }$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

$Q^{\pm }(u,v)=\pm \sigma (Q(v,u))$

따라서, $Q$로 정의되는 고전군은 $Q^{+}$와 $Q^{-}$로 정의되는 두 고전군의 교집합이다.

또한, 만약 $K=ℍ$이며, $\sigma =\mathrm{id}$인 경우, 가능한 $Q$는 $Q=0$ 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다).

이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다.

계수 $K$	$Q$의 조건	고전군	표준 형식	리 대수 형태
실수체	0	$\mathrm{GL}(n;ℝ)$	0	${𝖠}_{n-1}$
	대칭 쌍선형	$\mathrm{O}(p,n-p;ℝ)$	$x_1{y}_1+\cdots +x_p{y}_p-(x_{p+1}{y}_{p+1}+\cdots +x_n{y}_n)$	${𝖡}_{(n-1)/2}$ 또는 ${𝖣}_{n/2}$
	반대칭 쌍선형	$\mathrm{Sp}(n;ℝ)$ ($n$ 짝수)	$x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_3{y}_4-x_4{y}_3+\cdots +x_{n-1}{y}_n-x_n{y}_{n-1}$	${𝖢}_n$
복소수체	0	$\mathrm{GL}(n;ℂ)$	0	${𝖠}_{n-1}$
	대칭 쌍선형	$\mathrm{O}(n;ℂ)$	$x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$	${𝖡}_{(n-1)/2}$ 또는 ${𝖣}_{n/2}$
	반대칭 쌍선형	$\mathrm{Sp}(n;ℂ)$ ($n$ 짝수)	$x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_3{y}_4-x_4{y}_3+\cdots +x_{n-1}{y}_n-x_n{y}_{n-1}$	${𝖢}_n$
	에르미트	$\mathrm{U}(p,n-p)$	${\overline{x}}_1{y}_1+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n$	${𝖠}_{n-1}$
	반에르미트		$\mathrm{i}({\overline{x}}_1{y}_1+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n)$
사원수 대수	0	${\mathrm{U}}^{*}(2n)$	0	${𝖠}_{2n-1}$
	에르미트	$\mathrm{USp}(2p,2(n-p))$	${\overline{x}}_1{y}_1+\cdots +{\overline{x}}_p{y}_p-({\overline{x}}_{p+1}{y}_{p+1}+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n)$	${𝖢}_n$
	반에르미트	${\mathrm{O}}^{*}(2n)$	${\overline{x}}_1\mathrm{i}{y}_1+\cdots +{\overline{x}}_n\mathrm{i}{y}_n$	${𝖣}_n$

성질

고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\mathrm{U}(p,q)\subseteq \mathrm{GL}(p+q;ℂ)\cap \mathrm{O}(2p,2q;ℝ)$

$\mathrm{O}(p,q;ℝ)\subseteq \mathrm{U}(p,q)\cap \mathrm{O}(p+q;ℂ)$

$\mathrm{Sp}(p,q;ℝ)\subseteq \mathrm{Sp}(p+q;ℂ)$

$\mathrm{USp}(p,q)=\mathrm{U}(p,q)\cap \mathrm{Sp}(p+q;ℂ)$

${\mathrm{U}}^{*}(2n)\subseteq \mathrm{GL}(2n;ℂ)$

${\mathrm{O}}^{*}(2n)=\mathrm{O}(2n;ℂ)\cap \mathrm{U}(n,n)$

$\mathrm{U}(n/2)\cong \mathrm{O}(n;ℝ)\cap \mathrm{Sp}(n;ℝ)$

역사

‘고전군’(틀:Llang)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다.

외부 링크

• 틀:Eom