오퍼라드 대수

틀:위키데이터 속성 추적 오퍼라드 이론에서 오퍼라드 대수(operad代數, 틀:Llang)는 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는, 어떤 대칭 모노이드 범주 속의 구조이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 대칭 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,1)$
• $𝒞$ 속의 오퍼라드 $P=(P(n){)}_{n\in \mathbb{N}}$

그렇다면, $P$ 위의 대수는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 대상 $X\in 𝒞$
• 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 사상 $P(n)\otimes X^{\otimes n}\to X$

이는 $P$의 구조(항등 연산 · 변수 치환 · 연산 합성)와 적절한 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

닫힌 대칭 모노이드 범주의 경우

닫힌 대칭 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,\mathrm{hom})$의 경우, 약간 다른 정의가 가능하다. 이 경우, 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, 자명한 오퍼라드 $\mathrm{Op}(X)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $\mathrm{Op}(X)$의 $n$항 연산은 내부 준동형사상 대상 $\mathrm{hom}(X^{\otimes n},X)$이다.
• 연산의 합성은 $\otimes$의 결합성으로부터 유도된다.

이 경우, $(𝒞,\otimes )$에 대한 오퍼라드 $P$ 위의 대수(틀:Llang) $(X,\varphi )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $X\in 𝒞$는 $𝒞$의 대상이다.
• $\varphi$는 오퍼라드 사상 $P\to \mathrm{Op}(X)$이다.

예

체 $K$ 위의 벡터 공간의 대칭 모노이드 범주 $({\mathrm{Vect}}_K,\otimes ,K)$를 생각하자. 그 속의 오퍼라드 $\mathrm{Ass}$ 위의 대수는 $K$-결합 대수이다.

마찬가지로, A∞-대수는 A∞-오퍼라드 위의 대수이다.

같이 보기

• L∞-대수

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab