안정 벡터 다발

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학과 미분기하학에서 안정 벡터 다발(安定vector다발, 틀:Llang)은 정칙 벡터 다발 가운데, 모듈라이 공간을 잘 정의할 수 있는 것들이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 복소다양체 $M$
• 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 $M\hookrightarrow {ℂ\mathrm{P}}^N$. 이에 따라, $M$ 위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 $[\omega ]\in {\mathrm{H}}^2(M;ℝ)$는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
• $M$ 위의 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

다발의 기울기

$E\ne 0$이라고 할 때, $E$의 기울기(틀:Llang)는 다음과 같은 유리수이다.

$\mu (E)=\frac{\underset{M}{\int }[\omega {]}^{{\dim }_{ℂ}M-1}⌣{\mathrm{c}}_1(E)}{{\dim }_{M}E}\in \mathbb{Q}$

이 식에서, 분자가 정수인 것은 $M$이 사영 대수다양체이기 때문이다.

에르미트-아인슈타인 접속

콤팩트 리 군

$\mathrm{U}(1{)}_{\mathrm{diag}}\le G\le \mathrm{GL}(n;ℂ)$

이 주어졌으며, $E\twoheadrightarrow M$가 $M$ 위의, $G$ 구조의 정칙 벡터 다발이라고 하고, 이에 대응되는 $G$-주다발이

$P\twoheadrightarrow M$

이라고 하자.

그렇다면, $E$ 위의 어떤 벡터 다발 접속 $\mathrm{\nabla }$의 곡률

$F_{i\overline{ȷ}}^a\in {\mathrm{\Omega }}^{1,1}(M;𝔞𝔡(P))$

을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발

$𝔞𝔡(P)=P{\times }_G𝔩𝔦𝔢(G)$

이다. 표현에 따라서

$𝔞𝔡(P)\subseteq \mathrm{End}E$

이다. $\mathrm{End}E$에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발

$ℂ{\mathrm{id}}_E\subseteq \mathrm{End}E$

을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을

$m:M\times ℂ\hookrightarrow \mathrm{End}(E)$

이라고 하자. 이제, 만약

$F\in \mathrm{i}ℝm(\omega )\subseteq {\mathrm{\Omega }}^{1,1}(M;\mathrm{End}E)$

라면, $\mathrm{\nabla }$를 에르미트-아인슈타인 접속이라고 한다. $\mathrm{i}\lambda$는 허수이므로, 이 경우 $E$ 위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면, $\mathrm{\nabla }$는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다).

안정 벡터 다발

$E\ne 0$일 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 안정 벡터 다발이라고 한다.

• $E$의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 $0⊊F⊊E$에 대하여, $\mu (F)<\mu (E)$이다.
• $E$는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ($G=\mathrm{GL}({ℂ}^{\mathrm{rk}E})$에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
• $E$는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ($G=\mathrm{GL}({ℂ}^{\mathrm{rk}E})$에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.

안정 벡터 다발의 첫 정의에서, $\mu (F)<\mu (E)$를 $\mu (F)\le \mu (E)$로 약화시키면, 준안정 벡터 다발(틀:Llang)의 개념을 얻는다.

리만 곡면의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$
• 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow \mathrm{\Sigma }$

이 경우, ${\mathrm{H}}^2(\mathrm{\Sigma })$가 1차원이므로, $\mathrm{\Sigma }$ 위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 $\mathrm{\Sigma }$의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.

이 경우, $E$의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 $\mathrm{\Sigma }$
• 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow \mathrm{\Sigma }$
• $E$ 위의 에르미트 구조 $\eta \in {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\Sigma }}(E^{*}\otimes {\overline{E}}^{*})$

만약 $E$ 위에 벡터 다발 접속 $\mathrm{\nabla }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선

$\gamma :[0,1]\to \mathrm{\Sigma }$

$\gamma (0)=\gamma (1)\in \mathrm{\Sigma }$

에 대하여, 모노드로미

$T_{\gamma }\in \mathrm{GL}(E_{\gamma (0)};ℂ)$

를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군

$\mathrm{U}(E_{\gamma (0)})\le \mathrm{GL}(E_{\gamma (0)};ℂ)$

에 속한다면, 이러한 접속을 유니터리 접속(틀:Llang)이라고 하자. 유니터리 접속 $\mathrm{\nabla }$이 주어졌을 때, 그 곡률

$F_{\mathrm{\nabla }}\in {\mathrm{\Omega }}^2(\mathrm{\Sigma };\mathrm{u}(E))$

를 생각하자. ($\mathrm{u}(E)$는 $E$ 위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다.) 이제, 부피 형식을 통한 호지 쌍대

$*F_{\mathrm{\nabla }}\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{u}(E))$

를 생각하자.

나라심한-세샤드리 정리(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, 틀:Llang)에 따르면, $E$가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, $(E,\eta )$가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 $*F_{\mathrm{\nabla }}=-2\pi \mathrm{i}\mu (E)$인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 $z\in \mathrm{\Sigma }$에 대하여 군 준동형

${\pi }_1(\mathrm{\Sigma },z)\to \mathrm{PU}(E_z)=\frac{\mathrm{U}(E_z)}{{ℂ}^{\times }}$

이 존재한다.

리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간

다음이 주어졌다고 하자.

• 종수 $g$의 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$
• 자연수 $r\in \mathbb{N}$ (정칙 벡터 다발의 차원)
• 정수 $d\in \mathbb{Z}$ (정칙 벡터 다발의 차수)

그렇다면, $\mathrm{\Sigma }$ 위의 $r$차원 $d$차 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간

$ℳ(\mathrm{\Sigma },r,d)$

을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다. $E\twoheadrightarrow \mathrm{\Sigma }$에서, 그 접공간은 다음과 같다.

${\mathrm{T}}_Eℳ={\mathrm{H}}^1(\mathrm{\Sigma },\mathrm{End}(E))$

증명 개략:

어떤 매개 변수 $t\in ℝ$ 및 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$에 대하여 전이 함수가 ${\varphi }_{ij}(t):U_i\cap U_j\to \mathrm{Aut}(E\upharpoonright U_i\cap U_j)$라면,

${\partial }_t\ln {\varphi }_{ij}:U_i\cap U_j\to \mathrm{End}(E)$

이며, 이러한 함수들의 족은 ($t=0$에서) 층 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^1(\mathrm{\Sigma },\mathrm{End}(E))$의 원소를 정의한다. 여기서 $\mathrm{End}E=E^{*}{\otimes }_{ℂ}E$이다.

그 복소수 차원은 다음과 같다.

$ℳ(\mathrm{\Sigma },r,d)\ne \varnothing ⟹{\dim }_{ℂ}ℳ(\mathrm{\Sigma },r,d)=r^2(g-1)+1$

여기서 $ℳ(\mathrm{\Sigma },r,d)\ne \varnothing$일 필요 충분 조건은 $g\ge 2$이거나, $g=1$이며 $\gcd \{r,d\}=1$이거나, $g=0$이며 $r=1$인 것이다. 여기서 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow \mathrm{\Sigma }$의 차수는 $\mathrm{deg}E=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }{\mathrm{c}}_1(E)\in \mathbb{Z}$이며, ${\mathrm{c}}_1$은 1차 천 특성류이다.

증명:

$ℳ$의 차원은 물론 어떤 임의의 $E\in ℳ$에서의 접공간의 차원과 같다.

리만-로흐 정리에 따라서,

$\dim {\mathrm{H}}^0(\mathrm{\Sigma },\mathrm{End}E)-\dim {\mathrm{H}}^1(\mathrm{\Sigma },\mathrm{End}E)=\mathrm{deg}(\mathrm{End}E)+(1-g)\dim (\mathrm{End}E)$

이다. 그런데 $\det (E^{*}\otimes E)$는 대역적 단면을 가지므로

$\mathrm{deg}(\mathrm{End}E)=0$

이며, $E$가 안정 벡터 다발이므로

$\dim {\mathrm{H}}^0(\mathrm{\Sigma },\mathrm{End}E)=1$

이다. (이는 올별 항등 함수의 스칼라배로 구성된다.) 물론

$\dim (\mathrm{End}E)=r^2$

이다. 따라서

$\dim {\mathrm{H}}^1(\mathrm{\Sigma },\mathrm{End}E)=r^2(g-1)+1$

이다.

만약 $g=0$일 경우 ($\mathrm{\Sigma }\cong {ℂ\mathrm{P}}^1$), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

$\underset{i}{⨁}𝒪(d_i)$

여기서 $𝒪(d)$는 보편 선다발의 $-d$차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발 $𝒪(d)$ 밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 $i$에 대하여 $d_1=d_2=\cdots$인 것이다 (즉, $\dim E\mid \mathrm{deg}E$). 즉,

$ℳ({ℂ\mathrm{P}}^1,r,d)=\{\begin{array}{cc}\{\bullet \}& r\mid d\\ \varnothing & r\nmid d\end{array}$

이다.

만약 $g=1$일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발 $E$가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 그 차수와 그 차원이 서로소인 것이다.

$\gcd \{\mathrm{deg}E,\dim E\}=1$

이 경우,

$ℳ(\mathrm{\Sigma },r,d)\cong \mathrm{\Sigma }(\gcd \{r,d\}=1)$

이다.

하더-나라삼한 여과

리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 임의의 정칙 벡터 다발 $E$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과

$0=E_0\subseteq E_1\subseteq \cdots \subseteq E_k=E$

가 존재한다.

• 임의의 $i\in \{0,1,\dots ,k-1\}$에 대하여, $E_{i+1}/E_i$는 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 준안정 벡터 다발이다.

이를 하더-나라심한 여과(틀:Llang)라고 한다.

역사

데이비드 멈퍼드가 1963년에 도입하였다.

나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(틀:Llang, 틀:Llang)과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(틀:Llang, 틀:Llang)가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며, 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며, 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체에 대하여 일반화하였다.

예

모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.

양의 차원의 두 정칙 선다발 $E$, $F$의 직합 $E\oplus F$은 안정 벡터 다발이 될 수 없다.틀:Rp 이 경우,

${\mathrm{c}}_1(E\oplus F)={\mathrm{c}}_1(E)+{\mathrm{c}}_1(F)$

$\dim (E\oplus F)=\dim E+\dim F$

이므로,

$\min \{\mu (E),\mu (F)\}\le \mu (E\oplus F)\le \max \{\mu (E),\mu (F)\}$

이기 때문이다.

외부 링크

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