모노드로미

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 모노드로미(틀:Llang)는 피복 공간이 특이점 주변에서 보이는 구조를 나타내는 수학적 대상이다.

정의

$X$가 연결 국소 연결 공간이라고 하자. $p:\tilde{X}\to X$가 $X$의 피복 공간이라고 하자. 또한, $x\in X$에 대하여 $F=p^{-1}(x)$가 그 올(틀:Lang)이라고 하자.

폐곡선 $\gamma :[0,1]\to X$가 $x$에서 시작하고 끝난다고 하자. 즉, $\gamma (0)=\gamma (1)=x$이다. 그렇다면 이 폐곡선을 피복 공간으로 올려(틀:Lang) $\tilde{\gamma }:[0,1]\to \tilde{X}$를 생각할 수 있다. 이 곡선은 더 이상 일반적으로 폐곡선이 아니다. $\tilde{\gamma }$가 ${\tilde{x}}_1\in F$에서 시작하여 ${\tilde{x}}_2\in F$에 끝난다고 하자. 이에 따라, 이를 기본군 ${\pi }_1(X,x)$의 $F$에 대한 군의 작용으로 생각할 수 있다. 이 작용을 모노드로미 작용(틀:Lang)이라고 하며, 군 준동형 ${\pi }_1(X,x)\to \mathrm{Aut}(F)$의 상을 모노드로미 군(틀:Lang)이라고 한다.

예

복소 로그로 의하여 주어지는 복소 평면의 피복 공간

모노드로미는 복소해석학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 복소 로그 $\log (z)$를 원점을 한 번 도는 폐곡선을 따라 해석적 연속을 통하여 연장하면, 시작한 점에서 $2\pi i$만큼 다른 값을 얻는다. 복소 로그를 $p:ℂ\to ℂ\setminus \{0\}$ 꼴의 피복 공간으로 생각하면, $x\in {ℝ}^{+}$에 대응하는 올은 $F=\{\log (x)+2\pi ni|n\in \mathbb{Z}\}$이다. $ℂ\setminus \{0\}$의 기본군은 그 감음수로 나타내어지는 ${\pi }_1(ℂ\setminus \{0\})=\mathbb{Z}$이므로, 그 모노드로미 작용은 $n:\log (x)\mapsto \log (x)+2\pi ni$임을 알 수 있고, 그 모노드로미 군은 $\mathbb{Z}$이다.

리만 기하학의 홀로노미도 모노드로미의 일종으로 생각할 수 있다.

같이 보기

• 초기하함수

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:수학노트
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