렌즈 공간

정의

$p, q$ 가 서로소 양의 정수라고 하자. 3차원 초구 $S^{3}$ 를 $S^{3} \subset ℂ^{2}$ 로 간주하자. 그렇다면 $S^{3}$ 위에 다음과 같은 $ℤ / p$ 작용을 정의할 수 있다.

[1] \in ℤ / p : (z_{1}, z_{2}) \mapsto (\exp (2 π i / p) z_{1}, \exp (2 π i q / p) z_{2})

이 작용에 대한 몫공간

S^{3} / (ℤ / p)

을 렌즈 공간 $L (p, q)$ 라고 한다.

렌즈 공간 $L (p, q)$ 는 3차원 (경계가 없는) 위상다양체이며, 모두 자이페르트 다양체(틀:Llang)의 특수한 경우다.

정의에 따라, 렌즈 공간 $L (p, q)$ 의 기본군은

π_{1} (L (p, q)) = ℤ / p

이다.

두 렌즈 공간 $L (p, q)$ , $L (p^{'}, q^{'})$ 이 호모토피 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

어떤 정수

n

이 존재하여,

q_{1} q_{2} \equiv - n^{2} (\mod p)

두 렌즈 공간 $L (p, q)$ , $L (p^{'}, q^{'})$ 이 위상동형일 필요충분조건은 다음과 같다.

q_{1} \equiv \pm q_{2}^{\pm 1} (\mod p)