에일렌베르크-매클레인 공간

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 에일렌베르크-매클레인 공간(-空間, 틀:Llang)은 주어진 특정 차수의 호모토피 군을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 자명군인 위상 공간이다.

정의

군 $G$ 및 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다.

${\pi }_k(K(G,n))=\{\begin{array}{cc}G& k=n\\ 1& k\ne n\end{array}$

만약 $n>1$이라면, $G$는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다.

주어진 아벨 군 $G$에 대하여, 고리 공간 함자 $L$을 통해

$\cdots \stackrel{L}{\to }K(G,2)\stackrel{L}{\to }K(G,1)\stackrel{K}{\to }(G,0)$

을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, 에일린베르크-매클레인 스펙트럼이라고 한다. 이는 $G$ 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

구성

임의의 군 $G$ 및 양의 정수 $n$이 주어졌으며, 만약 $n>1$이라면 $G$가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 $K(G,n)$는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

CW 복합체를 통한 구성

$K(G,n)$을 이루는 CW 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, $n$차원 초구들의 쐐기합의 $n$차 호모토피 군은 $n=1$일 경우 자유군이고, $n>1$일 경우 자유 아벨 군이다.

${\pi }_1\left(\underset{I}{\bigvee }{𝕊}^1\right)\cong ⟨I⟩$

${\pi }_n\left(\underset{I}{\bigvee }{𝕊}^n\right)\cong {\mathbb{Z}}^{\oplus I}$

군 $G$의 표시

$G\cong ⟨I|(R_j{)}_{j\in J}⟩(R_j\in F(I)$

를 임의로 고르자. 여기서 $F(I)$는 $n=1$일 경우 집합 $I$ 위의 자유군이며 $n>1$일 경우 집합 $I$ 위의 자유 아벨 군이다. 그렇다면, $n$차원 초구들의 쐐기합

$X_n=\underset{i\in I}{\bigvee }{𝕊}^n$

을 생각하자. 각 $j\in J$에 대하여, $R_j\in F(I)\cong {\pi }_n(X_1)$에 대응하는 사상

$f_j:{𝕊}^n\to {\pi }_n(X_1)$

을 고르자. 이 사상을 따라, $n+1$차원 세포들을 붙여 CW 복합체 $X_{n+1}$을 만들 수 있다. 그렇다면

${\pi }_i(X_{n+1})=0\mathrm{\forall }i<n$

${\pi }_n(X_{n+1})\cong G$

이다. 그러나 $X_{n+1}$은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다.

이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다.

• ${\pi }_{n+1}(X_{n+1})$의 생성원들을 골라, 그 수만큼 $n+2$차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 $X_{n+2}$라고 하자.
• ${\pi }_{n+2}(X_{n+2})$의 생성원들을 골라, 그 수만큼 $n+3$차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 $X_{n+3}$라고 하자.
• ⋮

이와 같이 계속하여 모든 $n$에 대하여 $X_n$을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한

$X_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underrightarrow{\lim }}{X}_n$

을 취하자. 그렇다면 $X_n$은 $K(G,n)$을 이룬다.

분류 공간을 통한 구성

군 $G$에 이산 위상을 주자. 그렇다면, 분류 공간 $\mathrm{B}G$는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간

$\mathrm{B}G\simeq K(G,1)$

을 이룬다. 이러한 분류 공간은 다음과 같이 단체 복합체로 구성할 수 있다. 우선, $\mathrm{E}G$가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.

• $\mathrm{E}G$의 $n$차원 단체의 집합은 $G^{n+1}$이다.
• $[g_0,\dots ,g_n]\in G^{n+1}$은 각 $i$에 대하여 면 $[g_0,\dots ,{\hat{g}}_i,\dots ,g_n]\in G^n$과 붙여져 있다.

이는 축약 가능 공간이다. $\mathrm{E}G$ 위에는 다음과 같은 $G$의 작용이 존재한다.

$g:\mathrm{E}G\to \mathrm{E}G$

$g:(g_0,\dots ,g_n)\mapsto (g{g}_0,\dots ,g{g}_n)$

이에 따라 몫공간 $\mathrm{B}G=\mathrm{E}G/G$를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 ${\pi }_1(\mathrm{B}G)\cong G$이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

성질

다음이 성립한다.

$K(G,n)\times K(H,n)\simeq K(G\times H,n)$

$K(G,n-1)\simeq \mathrm{\Omega }K(G,n)$

여기서 $\mathrm{\Omega }X$는 $X$ 위의 고리 공간(틀:Llang)이다.

에크먼-힐튼 쌍대성(틀:Llang) 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다.

${\mathrm{H}}^n(X;G)\cong {\mathrm{hom}}_{{\mathrm{hTop}}_{\bullet }}(X,K(G,n))$

특히,

${\mathrm{H}}^1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathrm{hom}}_{{\mathrm{hTop}}_{\bullet }}(X,{𝕊}^1)$

${\mathrm{H}}^2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathrm{hom}}_{{\mathrm{hTop}}_{\bullet }}(X,{ℂ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }})$

이다.

• 첫 등식은 ${\mathrm{S}}^1$이 무한 순환군의 분류 공간 $\mathrm{B}\mathbb{Z}$이므로, $\mathbb{Z}$-주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, $f:X\to {𝕊}^1$에 대응하는 코호몰로지류는 ${𝕊}^1$의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다.
• 둘째 등식은 ${ℂ\mathbb{P}}^1$이 원군의 분류 공간 $\mathrm{B}\mathrm{U}(1)$이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, $f:X\to {ℂ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}$에 대응하는 코호몰로지류는 ${ℂ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}$의 2차 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^2({ℂ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }})\cong \mathbb{Z}$의 생성원의 당김이다.

예

대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다.

$K(\mathbb{Z},1)$	${𝕊}^1$
$K({\mathbb{Z}}^{\oplus n},1)$	타원면 ${𝕋}^n$
$K(F_k,1)$ ($k$차 자유군)	원의 쐐기합 $\underset{i=1}{\overset{k}{\bigwedge }}{𝕊}^1$
$K(\mathbb{Z}/2,1)$	무한 차원 실수 사영 공간 ${\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$
$K(\mathbb{Z}/m,1)$	무한 차원 렌즈 공간 ${𝕊}^{\mathrm{\infty }}/(\mathbb{Z}/m)$
$K({\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_g),1)$	${\mathrm{\Sigma }}_g$ (종수 $g$ 콤팩트 가향 곡면)
$K({\pi }_1(S^3\setminus K),1)$	$S^3\setminus K$ ($K$는 매듭)
$K(\mathbb{Z},2)$	무한 차원 복소수 사영 공간 ${\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}(ℂ)$
$K(\mathbb{Z},n)$	초구 위의 무한 차원 짜임새 공간 ${\mathrm{Conf}}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^n)$

유한 차수 원소를 갖는 군 $G$에 대하여, $K(G,1)$은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다.

역사

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 도입하였다.

같이 보기

• 포스트니코프 탑
• 무어 공간 (대수적 위상수학)

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab