국소 볼록 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:구별2 함수해석학에서 국소 볼록 공간(局所볼록空間, 틀:Llang)은 그 위상이 일련의 반노름들에 대한 시작 위상으로 유도되는 위상 벡터 공간이다.틀:Rp 함수해석학에서 다루는 가장 일반적인 공간 가운데 하나이다.

정의

$K\in \{ℝ,ℂ\}$라고 하자. $K$-국소 볼록 공간은 특별한 종류의 $K$-위상 벡터 공간이며, 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.

볼록 집합을 통한 정의

$K$-위상 벡터 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 $0\in V$의 근방 $\tilde{B}\ni 0$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 집합 $B\subseteq V$가 존재한다면, $V$를 $K$-국소 볼록 공간이라고 한다.

• 0의 근방이다.
• $0\in B\subseteq \tilde{B}$
• (볼록성) $B=\{tx+(1-t)y:(x,y,t)\in B\times B\times [0,1]\}$
• (균형성) $B={\bigcup }_{\lambda \in K}^{|\lambda |\le 1}\lambda B$
• (흡수성) $V=\bigcup _{\lambda \in K}\lambda B$

반노름을 통한 정의

$K$-국소 볼록 공간 $V$는 다음 성질들을 만족시키는 $K$-위상 벡터 공간이다.

• $V$의 위상은 일련의 반노름들 $\{{\nu }_i{\}}_{i\in I}$로 유도된다. 즉, 다음과 같은 기저를 갖는다.

  $\{v+ϵ\bigcap _{i\in \tilde{I}}{U}_i:\tilde{I}\subseteq I,|\tilde{I}|<{\mathrm{\aleph }}_0,ϵ\in {ℝ}^{+},v\in V\}$

  $U_i=\{v:{\nu }_i(v)<1\}\subseteq V\mathrm{\forall }i\in I$

국소 볼록 공간을 정의하는 데이터는 벡터 공간 구조 및 위상 공간 구조만을 포함하고, 반노름들을 포함하지 않는다. 일반적으로, 같은 국소 볼록 위상이 서로 다른 반노름들의 집합으로 유도될 수 있다.

임의의 반노름 집합 $\{{\nu }_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

${\nu }_i\lesssim {\nu }_j⟺{\sup }_{v\in V}^{{\nu }_j(v)\ne 0}\frac{{\nu }_i(v)}{{\nu }_j(v)}<\mathrm{\infty }$

임의의 반노름 집합 $\{{\nu }_i{\}}_{i\in I}$에 대하여,

$\{\sum _{i\in \tilde{I}}{\nu }_i:\tilde{I}\subseteq I,|\tilde{I}|<{\mathrm{\aleph }}_0\}$

는 원래 반노름 집합과 같은 위상을 정의하며, 또한 상향 원순서 집합을 이룬다. 즉, 국소 볼록 공간을 정의하는 반노름 집합이 항상 상향 원순서 집합이라고 가정할 수 있다.

성질

분리 공리

반노름 집합 $\{{\nu }_i{\}}_{i\in I}$로 정의되는 국소 볼록 공간 $V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 하우스도르프 공간이다.
• $\bigcap _{i\in I}{\nu }_i^{-1}(0)=\{0\}$. 즉, 모든 반노름으로 재었을 때 0인 벡터는 영벡터이다.

연속성과 유계성

두 국소 볼록 공간 $V$, $W$이 각각 반노름 상향 원순서 집합 $\{{\mu }_i{\}}_{i\in I}$, $\{{\nu }_j{\}}_{j\in J}$로 정의된다고 하자. 임의의 선형 변환 $T:V\to W$ 및 $j\in J$에 대하여, ${\nu }_j\circ T$는 $V$ 위의 반노름이다.

그렇다면, 임의의 선형 변환 $T:V\to W$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 연속 함수이다.
• (유계성) 임의의 $j\in J$에 대하여, ${\nu }_j\circ T\lesssim {\mu }_i$인 $i\in I$가 존재한다. 즉, 다음이 성립해야 한다.

  ${\sup }_{v\in V}^{{\mu }_j(v)\ne 0}(\nu (Tv{)}_j/{\mu }_i(v))<\mathrm{\infty }$

이는 노름 공간에서 연속성이 유계성으로 나타내어지는 것의 일반화이다.

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 벡터 공간들은 국소 볼록 공간이다. 프레셰 공간은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간과 힐베르트 공간은 프레셰 공간의 특수한 경우이므로 역시 국소 볼록 공간이다.

임의의 벡터 공간 $V$ 및 임의의 실수 선형 변환들의 집합 $F=\{f_{\alpha }:V\to ℝ\}$에 대한 시작 위상은 국소 볼록 공간이다. 이 경우 반노름들은 $|f_{\alpha }|$가 된다.

국소 볼록 공간이 아닌 위상 벡터 공간의 예

구간 $[0,1]$ 위의 르베그 공간 $L^p[0,1]$은 $0<p<1$에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다. (원점의 유일한 볼록 근방은 공간 전체이다.) 마찬가지로, 수열 공간 ${\ell }^p$ 역시 $0<p<1$에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다.

역사

존 폰 노이만이 1934년에 "볼록 선형 집합"(틀:Llang)이라는 이름으로 도입하였다.틀:Rp

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab