곱집합

집합 A = {x, y, z}와 B = {1, 2, 3}의 곱집합 A × B.

52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 틀:Nowrap과 숫자의 집합 틀:Nowrap의 곱집합이라 생각할 수 있다.

집합론에서 곱집합(곱集合, 틀:Llang) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 틀:Llang)은 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 $A,B$의 곱집합 $A\times B$는 $\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.

정의

첨수족 $\{A_i{\}}_{i\in I}$의 곱집합 $\prod _{i\in I}{A}_i$는 다음과 같다.

$\prod _{i\in I}{A}_i=\{(a_i{)}_{i\in I}|a_i\in A_i\}$

특히, 유한 개의 집합 $A_1,A_2,\dots ,A_n$의 곱집합 $A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$은 다음과 같다.

$A_1\times A_2\times \cdots \times A_n=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)|a_i\in A_i\}$

집합 $A,I$에 대하여, $A$의 $I$번 곱집합 $A^I$는 다음과 같다.

$A^I=\{(a_i{)}_{i\in I}|a_i\in A\}$

특히, 집합 $A$와 순서수 $\alpha$에 대하여, $A$의 $\alpha$번 곱집합 $A^{\times \alpha }$는 다음과 같다.

$A^{\times \alpha }=\{(a_{\beta }{)}_{\beta <\alpha }|a_{\beta }\in A\}$

특히, 집합 $A$ 및 음이 아닌 정수 $n$에 대하여, $A$의 $n$번 곱집합 $A^{\times n}$은 다음과 같다.

$A^{\times n}=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)|a_i\in A\}$

성질

분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 A = [1, 4], B = [2, 5], C = [4, 7].

(A ∪ B) × (C ∪ D) ⊋ (A × C) ∪ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].

(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].

• (기수의 곱의 정의) $|A\times B|=|A||B|$
• (기수의 거듭제곱의 정의) $|A^B|=|A{|}^{|B|}$
• $\varnothing \times A=A\times \varnothing =\varnothing$
• (교환 법칙의 실패) $A\times B\ne B\times A(A,B\ne \varnothing ,A\ne B)$
  • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 $(a,b)\mapsto (b,a)$가 존재한다.
• (결합 법칙의 실패) $(A\times B)\times C\ne A\times (B\times C)(A,B,C\ne \varnothing )$
  • 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 $((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))$가 존재한다.
• (분배 법칙) $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
• (분배 법칙) $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$
• (분배 법칙) $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$
• $\prod _{i\in I}\bigcup _{j\in J}{A}_{ij}\supseteq \bigcup _{j\in J}\prod _{i\in I}{A}_{ij}$
• $\prod _{i\in I}\bigcap _{j\in J}{A}_{ij}=\bigcap _{j\in J}\prod _{i\in I}{A}_{ij}$
• 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
  • $\prod _{i\in I}{A}_i\subseteq \prod _{i\in I}{B}_i$
  • $A_i=\varnothing$인 $i\in I$가 존재하거나, 임의의 $i\in I$에 대하여 $A_i\subseteq B_i$이다.
• 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
  • $\prod _{i\in I}{A}_i=\varnothing$
  • $A_i=\varnothing$인 $i\in I$가 존재한다.
• 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.

  ${\pi }_i:\prod _{i\in I}{A}_i\to A$

  ${\pi }_i:(a_i{)}_{i\in I}\mapsto a_i$

• (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 $\{f_i:B\to A_i{\}}_{i\in I}$에 대하여, $f_i={\pi }_i\circ f$ ($i\in I$)를 만족시키는 유일한 함수 $f:B\to \prod _{i\in I}{A}_i$가 존재한다.

예

데카르트 좌표 평면 ${ℝ}^2$은 실수선 $ℝ$과 자기 자신의 곱집합이다.

• $\{1,2\}\times \{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$
• ${ℝ}^2=ℝ\times ℝ=\{(x,y)|x,y\in ℝ\}$
• ${ℝ}^3=ℝ\times ℝ\times ℝ=\{(x,y,z)|x,y,z\in ℝ\}$

역사

르네 데카르트의 이름을 땄다.

같이 보기

• 멱집합 공리
• 직접곱
• 관계 (수학)
• Join (SQL)
• 전순서 집합
• 외적
• 곱 (범주론)
• 곱위상

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki