남 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 남 방정식(Nahm方程式, 틀:Llang)은 SU(2) 자기 홀극을 나타내는 연립 1차 상미분 방정식이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 실수 리 대수 $𝔤$
• 1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) $C$. 보통 $C=(0,2)$ (길이 2의 열린 선분) 또 는$C=ℝ/\ell \mathbb{Z}$ (길이 $\ell$의 원)으로 잡는다.

그렇다면, 남 방정식의 변수는 $C$ 위의 3개의 함수

$\overrightarrow{T}\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(C,𝔤\otimes {ℝ}^3)$

및 $C$ 위의 (자명한) $\mathrm{U}(n)$-주다발의 주접속

$T_0\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(C,𝔲(n))$

이다. 즉, 이를 통하여 $C$ 위의 공변 미분

$D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+[T_0,-]$

을 정의할 수 있다.

남 방정식은 다음과 같다.

$D{T}_i=\frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}[T_j,T_k]$

여기서

• ${ϵ}_{ijk}$는 레비치비타 기호이다.
• $[-,-]$는 $𝔤$의 리 괄호이다.

즉, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{T}_1+[T_0,T_1]=[T_2,T_3]$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{T}_2+[T_0,T_2]=[T_3,T_1]$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{T}_3+[T_0,T_3]=[T_1,T_2]$

이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다.

자기 홀극의 경계 조건

${ℝ}^3$ 위의 보고몰니 방정식의 자기 홀극 해를 구성하기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

• $𝔤=𝔲(n)$은 $n\times n$ 반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는 $n\times n$ 행렬의 교환자이다.
• $C=(0,2)$는 길이 2의 열린구간이다.
• $T$는 해석 함수이다.
• $z\to 0$ 또는 $z\to 2$에서, $T_i$는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 $𝔰𝔲(2)$의 $n$차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수

$T_i(z)=T_i^{(-1)}{z}^{-1}+T_i^{(0)}+T_i^{(1)}z+\cdots =T_i^{\prime (-1)}(z-2{)}^{-1}+T_i^{\prime (0)}+T_i^{\prime (1)}(z-2)+\cdots$

에서,

$[T_i^{(-1)},T_j^{(-1)}]=\frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}{T}_k^{(-1)}$

$[T_i^{\prime (-1)},T_j^{\prime (-1)}]=\frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}{T}_k^{\prime (-1)}$

이다.

칼로론의 경계 조건

남 방정식을 통하여 칼로론을 구성할 수도 있다. 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

• $C=ℝ/\ell \mathbb{Z}$는 둘레 $\ell$의 원이다.
• $C$에는 특별한 점 $z_1,z_2,\dots ,z_p\in C$이 주어진다.
• $[z_a,z_{a+1}]$에서, $𝔤=𝔲(n_i)$이다.
• $T_i$들이 작용하는 복소수 $n$차원 에르미트 벡터 다발 $E$는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. $[z_a,z_{a+1}]$에서의 다발을 $E^a$라고 하자. 특별한 점 $k_a$에서, $E^{a-1}$과 $E^a$의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
  • 만약 $n_{a-1}<n_a$라면, 단사 사상 $E^{a-1}{|}_{z_a}\to E^a{|}_{z_a}$
  • 만약 $n_{a-1}>n_a$라면, 단사 사상 $E^a{|}_{z_a}\to E^{a-1}{|}_{z_a}$
  • 만약 $n_{a-1}>n_a$라면, 전단사 사상 $E^{a-1}{|}_{z_a}\to E^a{|}_{z_a}$
• $T_i^a$는 해석 함수이며, 각 특별한 점 $z_a$에서 $T_i$는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
  • $n_{a-1}<n_a$일 때: $z\approx z_a$에서 다음이 성립한다.

    $T^a(z)=\left(\begin{array}{cc}{T}^{a-1}(z)& 𝒪((z-z_i{)}^{(n_a-n_{a-1}-1)/2})\\ 𝒪((z-z_a{)}^{(n_a-n_{a-1}-1)/2})& (z-z_a{)}^{-1}{R}_i+𝒪(1)\end{array}\right)$

    • 여기서 유수 $R^a$는 $𝔰𝔲(2)$의 기약 표현을 이룬다.
  • $n_{a-1}>n_a$일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
  • $n_{a-1}=n_a$일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.

성질

게이지 대칭

$𝔤$의 리 군이 $G$라면, 남 방정식과 그 경계 조건은 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(C,G)$의 게이지 변환을 갖는다.

만약 $C$가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여, $T_0=0$으로 놓을 수 있다. 그렇다면, 이 게이지 변환에서 $\mathrm{O}(n)$만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용

$T(z)\mapsto OT(z)O^{-1}(O\in \mathrm{O}(n))$

에 대하여 불변이다.

$T_0=0$ 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 $4n+n(n-1)/2$이며, 남은 게이지 변환 $\mathrm{O}(n)$에 대한 몫공간의 차원은 $4n$이다. 이는 n개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

럭스 쌍

남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉,

$A_0=-\mathrm{i}{T}_1+T_2,A_1=-2T_3,A_2=-\mathrm{i}{T}_1-T_2$

$A(t)=A_0+t{A}_1+t^2{A}_2$

$B(t)=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}{A}_1+t{A}_2\equiv B_0+t{B}_1$

로 놓자. 여기서 $t$는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.

$\frac{\partial A(t)}{\partial z}=[A(t),B(t)]$

즉, 양변을 $t$에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면,

$\frac{\partial }{\partial z}{A}_0=[A_0,B_0]=\frac{1}{2}[A_0,A_1]$

$\frac{\partial }{\partial z}{A}_1=[A_1,B_0]+[A_0,B_1]=[A_0,A_2]$

$\frac{\partial }{\partial z}{A}_2=[A_1,B_1]+[A_2,B_0]=[A_1,A_2]+\frac{1}{2}[A_2,A_0]$

$0=[A_2,B_1]$

가 된다.

이에 따라, 방정식

$\det (x-A(t,z))=0$

으로 정의되는 스펙트럼 곡선은 $\partial /\partial z$에 대하여 불변이다. 이 방정식은 $x$에 대한 $n$차 방정식이다. 여기서, $t$는 자연스럽게 사영 직선 ${\mathbb{P}}^1$의 좌표로 생각할 수 있으며, $(x,t)$는 그 접공간 $\mathrm{T}{\mathbb{P}}^1$ 위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다. 3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해서도 작도할 수 있으며, 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 나타낸다.

자기 홀극과의 관계

유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론이 다음과 같은 장들을 가진다고 하자.

• SU(2) 게이지장 $A$
• 딸림표현의 실수 스칼라장 $\varphi$. 이는 퍼텐셜을 갖지 않는다.

(이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.) 이 경우, $\varphi$의 퍼텐셜이 0이므로 임의의 진공 기댓값 $⟨\varphi ⟩\in 𝔰𝔲(2)$를 줄 수 있다 (힉스 가지). 이에 따라서 게이지 군은 그 카르탕 부분군 U(1)으로 깨지고, 이에 따라 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극들이 존재하게 된다. $n\in \mathbb{Z}$개의 자기 홀극을 포함하는 상태들은 남 방정식을 통해 작도할 수 있다. 이러한 상태들의 모듈라이 공간의 차원은 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산할 수 있고, $4n$이다.

여기서 지수를 $i,j,\dots =1,2,3$이고, $a=1,\dots ,n$이라고 하자.

남 방정식의 해 $T^i(z)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다.

$\mathrm{\Delta }=\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\otimes {\sigma }_i$

이는 $(z,𝐱)$를 매개 변수로 갖는 $(n,1)\otimes (2\times 2)=2n\times n$ 행렬 $U^a{}_i{}^j(z,𝐱)$에 작용한다. 즉,

$U:(0,2)\times {ℝ}^3\to {ℝ}^n\otimes {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℂ)$

이다.

$U$가 $\mathrm{\Delta }$의 여핵에 속한다고 하자. 즉, 그 수반 작용소 ${\mathrm{\Delta }}^{†}$는

${\mathrm{\Delta }}^{†}=-\frac{d}{dz}-(T^i-x^i){\sigma }_i$

이므로,

${\mathrm{\Delta }}^{†}U=0$

인 $U$를 생각하자. 이러한 $U$를 찾으면, $\varphi$와 $A$는 다음과 같다.

$\varphi (𝐱)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}z(U^a{)}^{†}(z;𝐱)U^a(z;𝐱)dz$

$\mathrm{i}{A}_i(𝐱)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}z(U^a{)}^{†}(z;𝐱){\partial }_{\mu }{U}^a(z;𝐱)dz$

끈 이론을 통한 해석

남 방정식은 초끈 이론을 통해 해석될 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 다음과 같은 D-막의 배열을 생각하자.

	0	1	2	3	4	…
D3-막	×	×	×	×
D1-막	×				×

여기서 D1-막은 D3-막에 붙어 있다. 또한, D3-막의 수가 $k$, D1-막의 수가 $n$이라고 하고, 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 하자. 그렇다면, 이 상태는 다음과 같이 묘사될 수 있다.

• D3-막 위의 이론은 $\mathrm{SU}(k)$ 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 모든 장이 시간 불변이라면 이는 보고몰니 방정식이다. D1-막은 그 위의 $n$개의 자기 홀극이다.
• D1-막 위의 이론은 (모든 장이 시간 불변이라면) 남 방정식이다. (이 경우, 1차원 공간에서 게이지장을 0이 되게 게이지 고정할 수 있다.)
  • 남 방정식의 $𝔰𝔲(2)$ 지표는 1,2,3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다.
  • 남 방정식의 장 $(T_1,T_2,T_3)$는 D1-막의 1,2,3 방향의 위치에 해당한다. 만약 각 $T_i$가 대각 행렬이라면, 그 $n$개의 대각 성분은 $n$개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다.

따라서, 남 방정식과 보고몰니 방정식 사이의 관계는 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

아벨 리 대수의 경우

$𝔤$가 ($𝔲(1)$과 같은) 아벨 리 대수일 경우, 남 방정식은 선형 상미분 방정식이다. 즉,

$\frac{\mathrm{d}{T}_i}{\mathrm{d}z}=0$

이므로, 그 해는 상수 함수이다.

역사

베르너 남(틀:Llang)이 1981년 도입하였다. 이후 사이먼 도널드슨과 나이절 히친 등이 이를 연구하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용