에르미트 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 에르미트 행렬(Hermite行列, 틀:Lang) 또는 자기 수반 행렬(自己隨伴行列, 틀:Lang)은 자기 자신과 켤레 전치가 같은 복소수 정사각 행렬이다. 실수 대칭 행렬의 일반화이다.

정의

복소수 행렬 $A$가 다음 조건을 만족시키면, 에르미트 행렬이라고 한다.

$A=A^{*}$

즉,

$A_{ij}=\overline{A_{ji}}$

여기서 $(-{)}^{*}$은 켤레 전치, $\overline{(-)}$은 켤레 복소수이다.

성질

에르미트 행렬의 대각 원소는 항상 실수이다. 틀:증명 $A$가 에르미트 행렬이라고 하자. 그렇다면, $i=1,\dots ,n$에 대하여,

$A_{ii}=\overline{A_{ii}}$

이므로,

$\mathrm{Im}{A}_{ii}=0$

이다. 즉, $A_{ii}\in ℝ$ 틀:증명 끝 에르미트 행렬의 고윳값은 언제나 실수가 된다. 틀:증명 $\lambda \in ℂ$가 에르미트 행렬 $A$의 고윳값이라고 하자. 그렇다면,

$Av=\lambda v$

인 고유 벡터 $v\ne 0$가 존재한다. 그렇다면,

$\lambda v^{*}v=v^{*}(\lambda v)=v^{*}(Av)=(v^{*}A)v=(Av{)}^{*}v=(\lambda v{)}^{*}v=\bar{\lambda }{v}^{*}v$

$v^{*}v=|v_1{|}^2+\cdots |v_n{|}^2\ne 0$

이므로,

$\lambda =\bar{\lambda }$

이다. 즉, $\lambda \in ℝ$이다. 틀:증명 끝 에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다. 틀:증명 $0\ne v_1,v_2\in {ℂ}^n$가 에르미트 행렬 $A$의 고윳값 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$에 대한 고유 벡터라고 하자. 그렇다면,

${\lambda }_1{v}_1^{*}{v}_2=({\lambda }_1{v}_1{)}^{*}{v}_2=(A{v}_1{)}^{*}{v}_2=(v_1^{*}A)v_2=v_1^{*}(A{v}_2)=v_1^{*}({\lambda }_2{v}_2)={\lambda }_2{v}_1^{*}{v}_2$

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$

이므로,

$v_1^{*}{v}_2=0$

이다. 틀:증명 끝

두 에르미트 행렬의 합 역시 에르미트 행렬이며, 가역 에르미트 행렬의 역행렬 역시 에르미트 행렬이다. 그러나 두 에르미트 행렬의 곱이 에르미트 행렬일 필요는 없다. 사실, 두 에르미트 행렬 $A$와 $B$의 곱 $AB$가 에르미트 행렬일 필요충분조건은 $AB=BA$이다. 특히, 에르미트 행렬 $A$의 거듭제곱 $A^n$은 에르미트 행렬이다.

예

예를 들어, 다음과 같은 행렬은 에르미트 행렬이다.

$\left(\begin{array}{ccc}2& 2+i& 4\\ 2-i& 3& i\\ 4& -i& 1\end{array}\right)$

같이 보기

• 자기 수반 작용소
• 반 에르미트행렬
• 반대칭행렬
• 해밀토니언 행렬
• 복소 행렬

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드