럭스 쌍

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 럭스 쌍(틀:Llang)은 적분가능계를 풀기 위한 기법의 하나다.

역사

럭스 페테르가 1968년 솔리톤을 다루기 위하여 도입하였다.

정의

럭스 쌍 $(L(t),P(t))$은 어떤 벡터 공간에 작용하고, 다음과 같은 럭스 방정식(틀:Llang)을 만족시키는 한 쌍의 연산자이다.

$\frac{dL(t)}{dt}=[P(t),L(t)]$

이는 양자역학의 하이젠베르크 묘사에서의 하이젠베르크 운동방정식과 같다.

럭스 방정식에 따라서, $L(t)$는 다음과 같이 풀 수 있다.

$L(t)=U(t)L(0)U(-t)$

여기서

$U(t)=U(-t{)}^{-1}$

은 시간 변화 연산자로, 다음과 같다.

$\frac{dU(t)}{dt}=P(t)U(t)$

$U(t)=𝒯\exp \underset{0}{\overset{t}{\int }}P(s)dt$

여기서 $𝒯\exp$은 시간 순서 행렬 지수 함수다. 따라서 $L(t)$는 시간에 따라서 서로 닮음행렬이고, 시간에 따라서 고윳값과 고유벡터는 바뀌지 않는다.

보통, 적분가능계에서는 어떤 변수 $x$에 대한 운동 방정식을 럭스 방정식

$\frac{dL(x,t)}{dt}=[P(x,t),L(x,t)]$

의 꼴로 표현한다. 그렇다면 $L(x,t)$의 고윳값들은 운동 상수가 된다.

외부 링크

• 틀:Eom