엇호프트-폴랴코프 자기 홀극

틀:위키데이터 속성 추적 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극(틀:Lang)은 게이지 이론에서 발생하는 자기 홀극이다. 헤라르뒤스 엇호프트와 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 독립적으로 1974년에 고안하였다. 표준 모형에는 존재하지 않지만, 대부분의 대통일 이론은 이를 포함한다. 아직 실험적으로 발견되지 않았다.

정의

시공간이 ${ℝ}^{d+1}$이라고 하자. 가능한 진공 상태들의 집합을 $ℳ$이라고 하자. 그렇다면 위상수학적으로 자명하지 않은 상태들은 공간의 무한대 $S^{d-1}$에서 $ℳ$으로 가는 연속함수들의 호모토피류들의 집합, 즉 제$d-1$차 호모토피 군 ${\pi }_{d-1}(ℳ)$에 의하여 분류된다.

게이지 군 $G$를 가진 게이지 이론이 자발 대칭 깨짐을 겪어 $H\subset G$로 깨진다고 하자. 이 경우, 진공 상태들의 집합은 잉여류 공간 $G/H$이다. 이에 따라, 만약 호모토피 군 ${\pi }_{d-1}(G/H)$가 자명하지 않다면 위상수학적으로 보존되는 상태들이 존재한다. 이들은 $H$에 대하여 자기 홀극임을 보일 수 있다. 이들을 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이라고 한다.

호모토피 군 ${\pi }_{d-1}(G/H)$는 다음과 같은 긴 완전열을 통해 계산할 수 있다.

$\cdots \to {\pi }_k(H)\to {\pi }_k(G)\to {\pi }_k(G/H)\to {\pi }_{k-1}(H)\to {\pi }_{k-1}(G)\to {\pi }_{k-1}(G/H)\to \cdots \to {\pi }_1(H)\to {\pi }_1(G)\to {\pi }_1(G/H)\to {\pi }_0(H)\to {\pi }_0(G)\to 0$

특히, 리 군의 2차 호모토피 군은 항상 자명하다. 따라서, $d=3$인 경우,

$0\to {\pi }_2(G/H)\to {\pi }_1(H)\stackrel{\iota }{\to }{\pi }_1(G)\to \cdots$

이므로

${\pi }_2(G/H)=\ker \iota \subset {\pi }_1(H)$

이다. 만약 $G$가 단일 연결 공간이라면,

${\pi }_2(G/H)\cong {\pi }_1(H)$

이다.

대통일 이론에서의 자기 홀극

대통일 이론에서는

• $G$는 대통일군 (예를 들어 SU(5) 또는 SO(10))
• $H=SU(3)\times SU(2)\times U(1)$는 표준 모형의 게이지군
• $d=3$ (공간의 차원)

이다. 대통일군은 보통 반단순(semisimple) 리 군인데, 이 경우 그 기본군은 유한 아벨 군이다. 예를 들어,

• ${\pi }_1(SU(N))={\pi }_1(\mathrm{Spin}(N))=1$ (자명군)
• ${\pi }_1(SO(N))=\mathbb{Z}/2$

이다. 반면 표준 모형의 게이지 군의 기본군은

• ${\pi }_1(H)={\pi }_1(U(1))=\mathbb{Z}$

이다. 따라서, ${\pi }_1(G)=\mathrm{\Gamma }$가 유한 아벨 군이라면 군 준동형

$\mathbb{Z}\to \mathrm{\Gamma }$

의 핵은 항상 $\mathbb{Z}$이다. 따라서, 대통일군이 반단순 리 군인 경우 (또는 일반적으로 대통일군의 기본군이 유한군일 때) 항상 자기 홀극이 존재한다.

특성

양-밀스 이론에서 게이지 군이 힉스 메커니즘으로 인하여 자발 대칭 깨짐을 겪는 경우 발생한다. 디랙 자기 홀극과 유사하지만 특이점이 없고, 유한한 총 에너지를 가진다.

엇호프트-폴랴코프 홀극은 원점을 근처로 국소화돼 있으며, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 디랙 자기홀극으로 수렴한다. 그러나 원점에서는 게이지 군은 깨지지 않는다. 힉스 장 $H_i$ ($i=1,2,3$) 은 $x_{i}f(|x|)$에 비례한다.

대부분의 게이지 이론은 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가지지만, 특수한 경우에는 그렇지 않을 수도 있다. 정확히 말하면, (콤팩트 리 군이라고 가정한) 게이지 대칭 리 대수가 가환 부분을 가지고, 또 전하 연산자가 리 대수의 반단순 부분대수에 포함되지 않은 경우, 자기 홀극이 존재하지 않을 수 있다. 표준 모형의 경우 SU(2)×U(1)에서 U(1)이라는 가환부분군이 있고, 또 전하 연산자가 순수히 SU(2)안에 들어있지 않고 SU(2)×U(1)에 대각으로 걸쳐 있으므로, 자기 홀극이 존재하지 않는다.

대부분의 대통일 이론은 반단순 리 군(SU(5), SO(10) 등)으로 나타내어지므로, 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가진다. 그러나 자기 홀극은 아직 실험적으로 관측되지 않았다.