국소화 (환론)

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 국소화(局所化, 틀:Llang)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(틀:Llang)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.

가환환의 국소화

보편 성질

$R$가 가환환이고, $S\subseteq R$가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, $R$의 $S$에 대한 국소화 $(S^{-1}R,\varphi )$는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 $S^{-1}R$ 및 환 준동형 $\varphi :R\to S^{-1}R$으로 구성된다.

1. 임의의 $s\in S\subseteq R$에 대하여, $\varphi (s)\in S^{-1}R$는 가역원이다.
2. (1)을 만족시키는 임의의 가환환 $R^{\prime }$ 및 환 준동형 ${\varphi }^{\prime }:R\to R^{\prime }$에 대하여, ${\varphi }^{\prime }=\chi \circ \varphi$이 되는 환 준동형 $\chi :S^{-1}R\to R^{\prime }$가 유일하게 존재한다.

$\begin{array}{ccc}R& \stackrel{\varphi }{\to }& S^{-1}R\\ & {\varphi }^{\prime }\searrow & \downarrow \mathrm{\exists }!\chi \\ & & R^{\prime }\end{array}$

국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

위 보편 성질은 $S$가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 $S$를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 $S$가 곱셈 모노이드가 아니고, $\tilde{S}$가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 $S^{-1}R={\tilde{S}}^{-1}R$가 된다.

구성

위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

$R\times S$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 $r,r^{\prime }\in R$, $s,s^{\prime }\in S$이고 $t(r{s}^{\prime }-r^{\prime }s)=0$인 $t\in S$가 있다면

$(r,s)\sim (r^{\prime },s^{\prime })$

으로 정의한다. 그렇다면 $S^{-1}R=(R\times S)/\sim$로 놓자. 이는 대략 $(r,s)$를 $r/s$와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 $(r,s)$를 $r/s$로 쓰자.

$S^{-1}R$ 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

$\frac{r}{s}+\frac{r^{\prime }}{s^{\prime }}=\frac{r{s}^{\prime }+r^{\prime }s}{s{s}^{\prime }}$

$\frac{r}{s}\frac{r^{\prime }}{s^{\prime }}=\frac{r{r}^{\prime }}{s{s}^{\prime }}$.

또한, $R\to S^{-1}R$로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

$r\mapsto \frac{r}{1}$.

이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

비가환환의 국소화

가환환이 아닐 수 있는 임의의 환 $R$ 및 부분 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 국소화 $\varphi :R\to S^{-1}R$를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 $\mathrm{Ring}$에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,틀:Rp 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.

• (A) $S^{-1}R$의 모든 원소 $x$에 대하여, $xs=r$가 되는 $s\in S$ 및 $r\in R$가 존재한다.틀:Rp
• (A′) $S^{-1}R$의 모든 원소 $x$에 대하여, $xs=r$가 되는 $s\in S$ 및 $r\in R$가 존재한다.
• (B) $\varphi :R\to S^{-1}R$의 핵은 $\ker \varphi =\{r\in R:0\in rS\}$이다.틀:Rp
• (B′) $\varphi :R\to S^{-1}R$의 핵은 $\ker \varphi =\{r\in R:0\in Sr\}$이다.
• (C) $R\ne 0$이며 $0\in ̸S$라면 $S^{-1}R\ne 0$이다.틀:Rp

이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 $S$-가역화 환(普遍$S$-可逆化環, 틀:Llang)이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ring}}(R,-)$ 속의, $S$를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자

$G_S:\mathrm{Ring}\to \mathrm{Set}$

$G_S(R^{\prime })=\{\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ring}}(R,R^{\prime }):\varphi (S)\subseteq \mathrm{Unit}(R^{\prime })\}$

를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 $F_S⊣G_S$를 가지며, 따라서 $G_S$는 표현 가능 함자이다. 즉,

$G_S(-)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ring}}(F_S(\{\bullet \}),-)$

로 생각할 수 있으며, $F_S(\{\bullet \})$는 국소화 $S^{-1}R$를 이룬다.

만약 $R$가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 $S^{-1}R$는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)

구성

비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.틀:Rp 환 $R$의 표시

$R\cong ⟨\{r_i{\}}_{i\in I}|\{{\varphi }_j{\}}_{j\in J}⟩$

를 고르자. 즉, 생성원 $r_i$와 관계 ${\varphi }_j$로 나타내자. 그렇다면, 각 $s\in S$에 대하여 생성원 $s^{*}$를 추가하고, 또 관계

$s{s}^{*}=s^{*}s=1$

를 추가하자. 그렇다면

$S^{-1}R=⟨\{r_i{\}}_{i\in I}\bigsqcup \{s^{-1}{\}}_{s\in S}|\{{\varphi }_j{\}}_{j\in J}\cup \{s{s}^{*}-1{\}}_{s\in S}\cup \{s^{*}s-1{\}}_{s\in S}⟩$

는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.

이 구성에서, $S^{-1}R$의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

$\sum _{i=1}^n{r}_i^{(1)}(s_1^{(1)}{)}^{-1}{r}_i^{(2)}(s_1^{(2)}{)}^{-1}\cdots r_i^{(k_i)}(s_1^{(k_i)}{)}^{-1}$

오레 국소화

비가환환 $R$의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 $R$와 부분 모노이드 $S\subseteq R$가 오레 조건(틀:Llang)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로, $R$와 부분 모노이드 $S\subseteq R$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(틀:Llang)이 성립한다고 한다.

• $Sr\cap Rs\ne \varnothing \mathrm{\forall }r\in R,s\in S$
• $(0\in rS⟹0\in Sr)\mathrm{\forall }r\in R$

마찬가지로, $R$와 부분 모노이드 $S\subseteq R$가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(틀:Llang)이 성립한다고 한다.

• $rS\cap sR\ne \varnothing \mathrm{\forall }r\in R,s\in S$
• $(0\in Sr⟹0\in rS)\mathrm{\forall }r\in R$

$(R,S)$가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 $R\times S$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

$(r,s)\sim (r^{\prime },s^{\prime })⟺\mathrm{\exists }\tilde{r}\in R,\tilde{s}\in S:\tilde{s}{s}^{\prime }-\tilde{r}s=\tilde{s}{r}^{\prime }-\tilde{r}r=0$

그렇다면 $S^{-1}R$는 집합으로서 몫집합 $(R\times S)/\sim$이다. $(r,s)$의 동치류를 $s^{-1}r$로 표기하자. $S^{-1}R$ 위의 곱셈은 다음과 같다.

$(s^{-1}r)(s{\text{'}}^{-1}{r}^{\prime })=(\tilde{s}s{)}^{-1}(\tilde{r}{r}^{\prime })(\tilde{r}\in R,\tilde{s}\in S,\tilde{r}{s}^{\prime }=\tilde{s}r)$

여기서 $\tilde{r}{s}^{\prime }=\tilde{s}r$인 $\tilde{r}\in R,\tilde{s}\in S$는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"${\tilde{s}}^{-1}\tilde{r}=rs{\text{'}}^{-1}$"

로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, $S^{-1}R$ 위의 덧셈은 다음과 같다.

$s^{-1}r+s{\text{'}}^{-1}{r}^{\prime }=(\tilde{s}s{)}^{-1}(\tilde{s}r+\tilde{r}{r}^{\prime })(\tilde{r}\in R,\tilde{s}\in S,\tilde{s}s=\tilde{r}{s}^{\prime })$

여기서 $\tilde{s}s=\tilde{r}{s}^{\prime }$인 $\tilde{r}\in R,\tilde{s}\in S$는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"${\tilde{s}}^{-1}\tilde{r}=ss{\text{'}}^{-1}$"

로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는

"$s^{-1}r+s{\text{'}}^{-1}{r}^{\prime }=s^{-1}(r+ss{\text{'}}^{-1}{r}^{\prime })=s^{-1}(r+{\tilde{s}}^{-1}\tilde{r}{r}^{\prime })=s^{-1}{\tilde{s}}^{-1}(\tilde{s}r+\tilde{r}{r}^{\prime })=(\tilde{s}s{)}^{-1}(\tilde{s}r+\tilde{r}{r}^{\prime })$"

로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 $S^{-1}R$를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(틀:Llang)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.틀:Rp

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

가군의 국소화

환 $R$의 곱셈에 대한 부분 모노이드 $S\subseteq R$ 및 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$의 $S$에서의 국소화 $S^{-1}M$은 $S^{-1}R$ 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.

$S^{-1}M=S^{-1}R{\otimes }_{R}M$

또한, 표준적인 $R$-왼쪽 가군 사상 $\varphi :M\to S^{-1}M$가 존재한다.

이는 함자

$(S^{-1}R{\otimes }_R):{}_R\mathrm{Mod}\to {}_{S^{-1}R}\mathrm{Mod}$

를 정의하며, 환 준동형 $R\to S^{-1}R$에 의한 망각 함자

$F:{}_{S^{-1}R}\mathrm{Mod}\to {}_R\mathrm{Mod}$

의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 $R$-왼쪽 가군의 준동형 ${\varphi }_N:M\to N$에 대하여, 만약 임의의 $s\in S$에 대하여 $s\cdot :N\to N$이 전단사 함수라면, ${\varphi }_N=\chi \circ \varphi$인 $R$-왼쪽 가군 준동형 $\chi :S^{-1}M\to N$이 존재한다.

$\begin{array}{ccc}M& \stackrel{\varphi }{\to }& S^{-1}M\\ & {\varphi }_N\searrow & \downarrow \mathrm{\exists }!\chi \\ & & N\end{array}$

구성

$R$가 가환환일 때, 가군의 국소화 $S^{-1}M\cong S^{-1}R{\otimes }_{R}M$는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

$S\times M$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

$(s,m)\sim (s^{\prime },m^{\prime })⟺\mathrm{\exists }t\in S:t{s}^{\prime }m=ts{m}^{\prime }$

$S^{-1}M$은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. $(s,m)\in S\times M$의 동치류를 $m/s$로 표기하자. 그렇다면, $S^{-1}M$ 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

$\frac{m}{s}+\frac{m^{\prime }}{s^{\prime }}=\frac{s^{\prime }m+s{m}^{\prime }}{s{s}^{\prime }}\mathrm{\forall }m,m^{\prime }\in M,s,s^{\prime }\in S$

$\frac{r}{s}\frac{m}{s^{\prime }}=\frac{rm}{s{s}^{\prime }}\mathrm{\forall }m\in M,s,s^{\prime }\in S,r\in R$

성질

소 아이디얼

가환환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 국소화 $\varphi :R\to S^{-1}R$의 소 아이디얼들은 $R$의 소 아이디얼 가운데 $S$와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

$f:\mathrm{Spec}(S^{-1}R)\to \{𝔭\in \mathrm{Spec}R:𝔭\cap S=\varnothing \}$

$f:𝔮\mapsto {\varphi }^{-1}(𝔮)$

여기서 $\varphi :R\to S^{-1}R$는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, $R$의 소 아이디얼 $𝔭$에 대하여, $R_{𝔭}$는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 $𝔭$에 대응한다.

국소화의 단사성과 전사성

가환환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 표준적 환 준동형 $R\to S^{-1}R$가 단사 함수이다.
• $S$는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)

그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

뇌터 가환환 $R$ 위의 단사 가군 $I$ 및 임의의 원소 $r\in R$에 대하여, $I\to I_r$는 전사 함수이다.틀:Rp

오레 조건의 필요충분성

환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $(R,S)$는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
• 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 $\varphi :R\to R^{\prime }$이 존재한다.
  • $\varphi (S)\subseteq \mathrm{Unit}(R^{\prime })$
  • $R^{\prime }=\varphi (S{)}^{-1}\varphi (R)$
  • $\ker \varphi =\{r\in R:0\in Sr\}$

또한, 이러한 조건을 만족시키는 $\varphi :R\to R^{\prime }$는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.틀:Rp

마찬가지로, 환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(R,S)$는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
• 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 $\varphi :R\to R^{\prime }$이 존재한다.
  • $\varphi (S)\subseteq \mathrm{Unit}(R^{\prime })$
  • $R^{\prime }=\varphi (R)\varphi (S{)}^{-1}$
  • $\ker \varphi =\{r\in R:0\in rS\}$

특히, 만약 $R$가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

예

(비가환일 수 있는) 환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$가 주어졌다고 하자.

• $0\in S$이라고 하자. 그렇다면 항상 $S^{-1}R=0$ (자명환)이다. 만약 $R$가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
• $S=\{1\}$이라고 하자. 그렇다면 항상 $S^{-1}R=R$이다.

분수체

틀:본문 (곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$에 대하여,

$S=R\setminus (\{r\in R:0\in rR\}\cup \{r\in R:0\in Rr\})$

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, $(R,S)$가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 $S^{-1}R$를 $R$의 전분수환 $\mathrm{Frac}R$라고 한다.

특히, 만약 $R$가 (가환) 정역이라면 $S=R\setminus \{0\}$이며, $\mathrm{Frac}R$는 체를 이룬다. 이 경우, $\mathrm{Frac}R$는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 $S\subseteq R\setminus \{0\}$가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 $R\to S^{-1}R$은 다음과 같이 $R\to \mathrm{Frac}R$의 일부분을 이룬다.

$R\to S^{-1}R\to \mathrm{Frac}R$

이에 따라 $S^{-1}R$는 항상 분수체 $\mathrm{Frac}R$의 부분환을 이룬다.

정수환

정수환 $\mathbb{Z}$의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼 $(p)$ 또는 영 아이디얼 $(0)$이다.

정수환 $\mathbb{Z}$를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

${\mathbb{Z}}_{(p)}=\{m/n:\gcd \{m,n\}=1,p\nmid n\}⊊\mathbb{Q}$

${\mathbb{Z}}_{(0)}=\mathbb{Q}$

즉, 분모가 $p$의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, ${\mathbb{Z}}_{(p)}$는 이산 값매김환이며, ${\mathbb{Z}}_{(0)}=\mathbb{Q}$는 체이다.

정수환의 $\mathbb{Z}$를 원소 $k\in \mathbb{Z}$에서 국소화하면 다음과 같다.

${\mathbb{Z}}_k=\{m/k^n:\gcd \{m,k\}=1,n\in \mathbb{N}\}⊊\mathbb{Q}(k\ne 0)$

${\mathbb{Z}}_0=0$ (자명환)

즉, 분모가 $k$의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 ${\mathbb{Z}}_p$로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

정수환의 몫환

정수환의 몫환 $R=\mathbb{Z}/(n)$을 생각해 보자. $n$이 소수의 거듭제곱이라면 $S=\{1\}$이거나 $0\in S$이다. 만약 $n=ab$이고, $a$와 $b$가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 $\mathbb{Z}/ab=\mathbb{Z}/a\times \mathbb{Z}/b$이다. 그렇다면 $S=\{(1,0),(1,1)\}$이 가능한데, 이 경우 $S^{-1}R=\mathbb{Z}/b$이다.

비가환환의 자명한 국소화

체 $K$ 및 정수 $n\ge 2$에 대하여, 행렬환 $\mathrm{Mat}(K;n)$을 생각하자. $E_{i,j}$가 $(i,j)$에서 성분 $1\in K$을 가지며, 나머지 성분이 모두 $0\in K$인 행렬이라고 하자. 그렇다면, $S=\{1,E_{i,j}\}$일 때, 국소화 $S^{-1}\mathrm{Mat}(K;n)$는 자명환이다.틀:Rp

응용

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.틀:Rp

• 원소 $f\in R$가 주어진 경우, $R_f$는 $S=\{1,f,f^2,f^3,\dots \}$에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 $f$가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 $U_f\subset \mathrm{Spec}R$에 국한한 것이다.
  • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 $k[x]$의 경우 $k[x{]}_x=k[x,x^{-1}]$는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 $\{x\ne 0\}={𝔸}_k^1\setminus \{0\}$ 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, $\{x\ne 0\}$으로 국한된 것을 알 수 있다.
• 소 아이디얼 $𝔭\in R$가 주어진 경우, $R_{𝔭}$는 $S=R\setminus 𝔭$에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$의 자리스키 폐포 $V(𝔭)$의 근방에 국한한 것이다.
  • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 $k[x]$를 극대 아이디얼 $(x)$에서 국소화하면 유리 함수체 $k[x{]}_{(x)}=k(x)=\{f(x)/g(x):f(x),g(x)\in k[x],g(0)\ne 0\}$을 얻는다. 이는 $x=0$의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, $x=0$의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

역사

1927년에 하인리히 그렐(틀:Llang, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.틀:Rp틀:Rp

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.틀:Rp 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.틀:Rp틀:Rp (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.틀:Rp)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(틀:Llang)가 도입하였다.틀:Rp

각주

• 틀:서적 인용
  • 틀:서적 인용

같이 보기

• 국소환
• 값매김환

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
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