완비화 (환론)

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 완비화(完備化, 틀:Llang)는 형식적 멱급수를 취하는 연산의 일반화이며, 대략 어떤 양쪽 아이디얼을 형식적 변수처럼 생각하여 이에 대한 형식적 멱급수를 추가하는 연산이다.

정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$와 그 양쪽 아이디얼 $𝔞⊲R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 몫환들을 정의할 수 있다.

$0=R/R=R/{𝔞}^0\leftarrow R/𝔞\leftarrow R/{𝔞}^2\leftarrow R/{𝔞}^3\leftarrow \cdots$

$R$의, $𝔞$에 대한 완비화 ${\hat{R}}_{𝔞}$는 이 몫환들의 (환의 범주 $\mathrm{Ring}$에서의) 극한이다.틀:Rp (만약 $R$가 가환환이라면, 이는 가환환의 범주 $\mathrm{CRing}$에서 생각하여도 좋다. 이는 $\mathrm{CRing}$이 $\mathrm{Ring}$의 반사 부분 범주이기 때문이다.) 구체적으로, 이는 다음과 같다.

${\hat{R}}_{𝔞}=\{(r_0,r_1,r_2,\dots )\in \prod _{i=0}^{\mathrm{\infty }}R/{𝔞}^i:r_i\equiv r_{i+1}mod{𝔞}^i\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}\}$

이에 대하여 자연스러운 환 준동형

$R\to {\hat{R}}_{𝔞}$

$r\mapsto (r+R,r+𝔞,r+{𝔞}^2,\dots )$

가 존재한다.

만약 표준적 환 준동형 $R\to {\hat{R}}_{𝔞}$가 동형 사상이라면, $R$가 $𝔞$-완비환(틀:Llang)이라고 한다.

성질

양쪽 아이디얼 $𝔞$에 대한 $𝔞$-완비환 $R$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $𝔞\subseteq \mathrm{rad}R$틀:Rp
• $R/\mathrm{rad}R$의 임의의 멱등원 $\overline{e}\in R/\mathrm{rad}R$에 대하여, $e+\mathrm{rad}R=\overline{e}$가 되는 $R$의 멱등원 $e\in R$가 존재한다.틀:Rp

예

정수환 $\mathbb{Z}$를 0이 아닌 소 아이디얼 $(p)$에서 완비화하면 $p$진 정수환 ${\mathbb{Z}}_p$를 얻는다.

체 $K$에 대한 다항식환 $K[x_1,\dots ,x_n]$을 극대 아이디얼 $(x_1,\dots ,x_n)$에서 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수환 $K[[x_1,\dots ,x_n]]$을 얻는다.

같이 보기

• 형식적 스킴

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab