값매김환

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 값매김환(-環, 틀:Llang) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$와 유사한 성질을 가지는 정역이다.

정의

정역 $D$ 위의 값매김(틀:Llang) $(\mathrm{\Gamma },\le ,\nu )$은 다음과 같은 순서쌍이다.

• 아벨 군 $\mathrm{\Gamma }$. 이를 값군(값群, 틀:Llang)이라고 한다.
• $\mathrm{\Gamma }$ 위의 전순서 $\le \subseteq {\mathrm{\Gamma }}^2$
• 군 준동형 $\nu :(\mathrm{Frac}D{)}^{\times }\to \mathrm{\Gamma }$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (전순서의 병진 불변성) 임의의 $g,h,k\in \mathrm{\Gamma }$에 대하여, $g\le h$라면 $g+k\le h+k$이다.
• $D=\{x\in (\mathrm{Frac}D{)}^{\times }:0\le \nu (x)\}\cup \{0\}$

$D$가 정역이고, 그 분수체가 $\mathrm{Frac}D$이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다.

• 임의의 $x\in \mathrm{Frac}D$에 대하여, $x=0$이거나 $x\in D$이거나 $x^{-1}\in D$이다.
• 베주 정역이자 국소환이다.
• $D$의 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
• $D$의 주 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
• 임의의 $a,b\in D$에 대하여, $a\mid b$이거나 $b\mid a$이다.
• 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.

임의의 값매김환 $D$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.

$\mathrm{\Gamma }=(\mathrm{Frac}D{)}^{\times }/D^{\times }$

$\nu :(\mathrm{Frac}D{)}^{\times }\to G$

$\nu :x\mapsto [x]=x+D^{\times }$

$[x]\le [y]⟺x{y}^{-1}\in D$

즉, 값군 $G$는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환이며, 값매김 $\nu$는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 $(D\setminus \{0\})/D^{\times }$이다.

또한, 통상적으로 $\nu (0)=\mathrm{\infty }$이며, $\nu (0)>\nu (a)\mathrm{\forall }a\ne 0$이라고 하자. 그렇다면 값매김 $\nu$는 다음과 같은 성질을 만족한다.

• $\nu (ab)=\nu (a)+\nu (b)$
• $\nu (a+b)\ge \min \{\nu (a),\nu (b)\}$
• $\nu (a)=\mathrm{\infty }$일 필요충분조건은 $a=0$

이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식 $-|a+b|\ge -|a|-|b|$를 강화한 것이다.

성질

모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 뇌터 환이다.
• 주 아이디얼 정역이다.
• 체이거나 아니면 이산 값매김환이다.

값매김환의 아이디얼

값매김 $(\mathrm{\Gamma },\nu )$를 갖춘 값매김환 $D$의 아이디얼은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

값군 $\mathrm{\Gamma }$의 선분(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Gamma }$이다.

• 임의의 $\delta \in \mathrm{\Delta }$에 대하여, $[-\delta ,\delta ]\subseteq \mathrm{\Delta }$이다. 여기서 $[,]$는 전순서에 대한 닫힌구간이다.

값군 $\mathrm{\Gamma }$의 고립 부분군(틀:Llang)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다.

$D$의 진 아이디얼 $𝔞⊊D$에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.

$𝔞\mapsto \mathrm{\Gamma }\setminus \bigcup _{a\in 𝔞\setminus \{0\}}\{\nu (a),-\nu (a)\}$

그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

• 이 함수는 $D$의 진 아이디얼들과, $\mathrm{\Gamma }$의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
• 이 함수는 $D$의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과, $\mathrm{\Gamma }$의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다.

예

유리형 함수

원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다.

정수환의 국소화

$p$가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$는 이산 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체 $\mathbb{Q}$, 값매김군은 $\mathbb{Z}\cong \{p^n:n\in \mathbb{Z}\}$이다. 이 경우, 그 값매김은 $\nu (p^n(a/b))=n$ ($a,b$는 $p$와 서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(틀:Llang)이라고 하며, 이는 대수적 수론에서 오스트롭스키 정리에 따라 유리수체의 유한 자리들을 구성한다.

p진 정수환

p진 정수 ${\mathbb{Z}}_p$들의 가환환은 이산 값매김환이며, 그 분수체는 p진수체 ${\mathbb{Q}}_p$다.

체

모든 체는 값매김환이다. 체 $K$의 경우 값매김군은 자명군이다. 자명군의 선분은 $[0,0]=\{0\}$밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.

형식적 멱급수환

틀:본문 임의의 체 $K$에 대하여, 1변수 형식적 멱급수환 $K[[x]]$은 값매김환이다. 그 분수체는 형식적 로랑 급수의 체 $K((x))$이며, 그 위의 값매김은 다음과 같다.

$\nu \left(\sum _{i\in \mathbb{Z}}{p}_i{x}^i\right)=\min \{i\in \mathbb{Z}:p_i\ne 0\}$

(형식적 로랑 급수의 정의에 따라 우변은 유한하다.)

외부 링크

• 틀:매스월드