유리 함수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 틀:구별 대수학과 해석학에서 유리 함수(有理函數, 틀:Llang)란 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 함수다.

정의

체 $K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $n$변수의 유리 함수체 $K(x_1,\dots ,x_n)$는 다항식환의 분수체이다.

$K(x_1,\dots ,x_n)=\mathrm{Frac}(K[x_1,\dots ,x_n])$

유리 함수체의 원소를 유리 함수라고 한다.

즉, 유리 함수체에 속하는 함수는 다항식들의 비, 즉

$\frac{p(x_1,\dots ,x_n)}{q(x_1,\dots ,x_n)}(p,q\in K[x_1,\dots ,x_n],q\ne 0)$

의 꼴이며, 약분을 해서 같아지는 다항식들의 비는 같은 유리 함수로 간주한다.

성질

체의 계수를 갖는 유리 함수들은 체를 이룬다. 즉, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

유리 함수체의 경우 체의 동형

$K(x_1,\dots ,x_n)\cong K(x_1)(x_2)\cdots (x_n)$

이 존재한다.

유리 함수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포를 대수 함수의 체 $\overline{K(x_1,\dots ,x_n)}$라고 한다.

테일러 급수

유리 함수를 테일러 급수로 표현했을 때, 그 계수를 동류항 정리를 통해 일차 점화식으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 다음 유리 함수의 테일러 급수를 생각하자.

$\frac{1}{x^2-x+2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k.$

양변에 분모를 곱하여 분해할 수 있다.

$1=(x^2-x+2)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$

$1=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^{k+2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k.$

그리하여 동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다.

$1=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k-2}{x}^k-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k-1}{x}^k+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k.$

결국 이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있다. 이 점화식을 풀면 직접 일반항을 얻을 수 있다.

$a_0=\frac{1}{2}$

$a_1=\frac{1}{4}$

$a_k=\frac{1}{2}(a_{k-1}-a_{k-2})(k\ge 2)$

무리함수

3차 유리 함수 $\frac{(x^3-2x)}{(2(x^2-5))}$의 그래프

유리 함수

$x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$

는 $x=\pm \sqrt{5}$에서 값이 정의되지 않는다.

유리 함수

$x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2+5)}$

는 모든 실수에서 정의되지만 모든 복소수에서 정의되는 것은 아니다.

유리 함수

$x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$

는 $x$가 무한히 커지면 $x/2$에 접근한다.

같이 보기

• 유리형 함수
• 유리 사상
• 유리 함수층

외부 링크

• 틀:Eom