그로텐디크 스펙트럼 열

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 그로텐디크 스펙트럼 열(Grothendieck spectrum列, 틀:Llang)은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다.

정의

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜,ℬ$ 사이의 $\mathrm{Ab}$-풍성한 왼쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$가 주어졌다고 하자. $F$-비순환 대상(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 대상 $A\in 𝒜$이다.

$\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}:{\mathrm{R}}^{i}F(A)=0$

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 $𝒜,ℬ,𝒞$
• 왼쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$, $G:ℬ\to 𝒞$
• $𝒜$의 대상 $A\in 𝒜$

이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• $𝒜$와 $ℬ$는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
• $F$는 $F$-비순환 대상을 $G$-비순환 대상으로 대응시킨다.
• $A$는 $F$-비순환 대상들로의 분해를 갖는다.

그렇다면, $A$에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 $E_{\bullet }^{\bullet \bullet }$은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.

$E_2^{pq}=({\mathrm{R}}^{p}G\circ {\mathrm{R}}^{q}F)(A)$

이 스펙트럼 열은 합성 함자의 $G\circ F$의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.

$E_2^{p,q}\Rightarrow {\mathrm{R}}^{p+q}(G\circ F)(A)$

그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, $A$와 $F(A)$의 단사 분해에 의존한다.

유도 범주와의 관계

유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환

$\mathrm{R}(G\circ F)\Rightarrow \mathrm{R}G\circ \mathrm{R}F:\mathrm{D}(𝒜)\to \mathrm{D}(𝒞)$

이 존재한다.틀:Rp 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.틀:Rp

성질

함자 $F$, $G$에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.

$0\to ({\mathrm{R}}^{1}G\circ F)(A)\to ({\mathrm{R}}^1(G\circ F))(A)\to (G\circ {\mathrm{R}}^{1}F)(A)\to ({\mathrm{R}}^{2}G\circ F)(A)\to ({\mathrm{R}}^2(G\circ F))(A)$

예

르레 스펙트럼 열

틀:본문 르레 스펙트럼 열(틀:Llang)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.

$\mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab})\stackrel{f_{*}}{\to }\mathrm{Sh}(Y;\mathrm{Ab})\stackrel{{\mathrm{\Gamma }}_X}{\to }\mathrm{Ab}$

여기서 $f_{*}$는 위상 공간 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$에 의하여 유도되는 층의 직상이며, ${\mathrm{\Gamma }}_X$는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 $\mathrm{Sh}(\{\bullet \},\mathrm{Ab})\simeq \mathrm{Ab}$로의 직상)이다. 층의 직상 $f_{*}:\mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab})\to \mathrm{Sh}(Y;\mathrm{Ab})$은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

$f^{*}:\mathrm{Sh}(Y;\mathrm{Ab})\to \mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab}$

$f^{*}⊣f_{*}$

을 가지므로, 직상 $f_{*}$은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

국소-대역 Ext 스펙트럼 열

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 두 ${𝒪}_X$-가군층 $ℱ$, $𝒢$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

${\mathrm{Mod}}_{{𝒪}_X}\stackrel{{\mathrm{hom}}_{{\mathrm{Mod}}_{{𝒪}_X}}(ℱ,-)}{\to }\mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab})\stackrel{{\mathrm{\Gamma }}_X}{\to }\mathrm{Ab}$

이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.틀:Rp

$E_2^{p,q}(𝒢)={\mathrm{H}}^p(X;{ℰ𝓍𝓉}_{{𝒪}_X}^q(ℱ,𝒢))\Rightarrow {\mathrm{Ext}}_{{\mathrm{\Gamma }}_X({𝒪}_X)}^{p+q}({\mathrm{\Gamma }}_X(ℱ),{\mathrm{\Gamma }}_X(𝒢))$

여기서

${ℰ𝓍𝓉}_{{𝒪}_X}^q(F,-)={\mathrm{R}}^q{\mathrm{hom}}_{{\mathrm{Mod}}_{{𝒪}_X}}(ℱ,-)$

는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 ${\mathrm{hom}}_{{\mathrm{Mod}}_{{𝒪}_X}}(ℱ,-)$ 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) $\mathrm{Ext}$는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

밑 전환

가환환 $R$, $S$ 및 환 준동형 $f:R\to S$ 및 $S$ 위의 가군 $N$이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

${\mathrm{Mod}}_R\stackrel{{\otimes }_{R}S}{\to }{\mathrm{Mod}}_S\stackrel{{\otimes }_{S}N}{\to }{\mathrm{Mod}}_S$

이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환(틀:Llang)을 계산한다. 즉, $R$ 위의 가군 $M$에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.

$E_2^{p,q}(M)={\mathrm{Tor}}_p^S({\mathrm{Tor}}_q^R(M,S),N)\Rightarrow {\mathrm{Tor}}_{p+q}^R(M,N)$

만약 $S$가 $R$-평탄 가군이라면,

${\mathrm{Tor}}_q^R(M,S)=\{\begin{array}{cc}M{\otimes }_{R}S& q=0\\ 0& q>0\end{array}$

이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.

${\mathrm{Tor}}_p^S(M{\otimes }_{R}S,N)\cong {\mathrm{Tor}}_p^R(M,N)$

군 코호몰로지

군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열(틀:Llang) 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군 $G$와 정규 부분군 $N⊲G$ 및 $G$-가군 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

${\mathrm{Mod}}_{\mathbb{Z}[G]}\stackrel{(-{)}^N}{\to }{\mathrm{Mod}}_{\mathbb{Z}[G/N]}\stackrel{(-{)}^{G/N}}{\to }\mathrm{Ab}$

여기서 $(-{)}^N$은 $N$의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다. 이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이라고 하며, 다음과 같다.

${\mathrm{H}}^p(G/N;{\mathrm{H}}^q(N,M))\Rightarrow {\mathrm{H}}^{p+q}(G;M)$

이에 대응하는 5항 완전열은 팽창-제한 완전열(틀:Llang)이라고 하며, 다음과 같다.

$0\to {\mathrm{H}}^1(G/N;M^N)\to {\mathrm{H}}^1(G;M)\to {\mathrm{H}}^1(N;M{)}^{G/N}\to {\mathrm{H}}^2(G/N;M^N)\to {\mathrm{H}}^2(G;M)$

여기서 "팽창"은

${\mathrm{H}}^{\bullet }(G/N;M)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(G/N;M)$

이며, "제한"은

${\mathrm{H}}^{\bullet }(G;M)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(N;M{)}^{G/M}$

이다.

역사

1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1948년에 로저 코넌트 린던(틀:Llang)은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르는 이를 개량하였다. 이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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