가군층

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 가군층(加群層, 틀:Llang)은 어떤 환 달린 공간 위에, 어떤 열린집합 위에 달린 가환환에 대한 가군을 이루는 아벨 군으로 구성된 층이다.

정의

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 가군층은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $X$ 위의 아벨 군의 층 $ℱ$
• 각 열린 집합 $U\subseteq X$에 대하여, $\mathrm{\Gamma }(U;ℱ)$ 위의 $\mathrm{\Gamma }(U;{𝒪}_X)$-가군의 구조

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $ℱ$의 제약 사상은 ${𝒪}_X$의 제약 사상과 호환된다. 즉, 임의의 열린 집합 $V\subseteq U\subseteq X$에 대하여, 제약 사상 ${\mathrm{res}}_{UV}^{{𝒪}_X}:\mathrm{\Gamma }(U;{𝒪}_X)\to \mathrm{\Gamma }(V;{𝒪}_X)$, ${\mathrm{res}}_{UV}^{ℱ}:\mathrm{\Gamma }(U;ℱ)\to \mathrm{\Gamma }(V;ℱ)$이 주어졌을 때, 임의의 $f\in \mathrm{\Gamma }(U,{𝒪}_X)$, $s\in \mathrm{\Gamma }(U,ℱ)$에 대하여, ${\mathrm{res}}_{UV}^{ℱ}(fs)={\mathrm{res}}_{UV}^{{𝒪}_X}(f){\mathrm{res}}_{UV}^{ℱ}(s)$이다.

성질

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 가군층의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 또한, 이 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 층 코호몰로지 $H^{\bullet }(X;-)$를 정의할 수 있다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주가 아니다.)

예

위상 공간 $X$ 위에, 정수환의 상수층 $\underset{\_}{\mathbb{Z}}$을 주었을 때, $(X,\underset{\_}{\mathbb{Z}})$ 위의 가군층은 $X$ 위의 아벨 군의 층과 같다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

같이 보기

• 아이디얼 층
• D가군
• 분수 아이디얼
• 해석적 벡터다발

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용