스펙트럼 열

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 스펙트럼 열(spectrum列, 틀:Llang)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.

정의

어떤 아벨 범주 $𝒞$ 의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) $(p, q) \in ℤ^{2}$ 을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열 $E_{r}^{p, q}$ 는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.

어떤 정수 $r_{0} \in ℤ$
모든 $r \geq r_{0}$ 에 대하여, $𝒞$ 의 대상 $E_{r}^{p, q}$
공경계 사상 $d_{r}^{p, q} : E_{r}^{p, q} \to E_{r}^{p + r, q + 1 - r}$

이들은 다음을 만족시킨다.

모든 정수 $r \geq r_{0}$ 에 대하여, $d_{r} \circ d_{r} = 0$ 이다.

\dots \to E_{r}^{p - 2 r, q - 2 + 2 r} \overset{d_{r}}{\to} E_{r}^{p - r, q - 1 + r} \overset{d_{r}}{\to} E_{r}^{p, q} \overset{d_{r}}{\to} E_{r}^{p + r, q + 1 - r} \overset{d_{r}}{\to} E_{r}^{p + 2 r, q + 2 - 2 r} \to \dots

$H (E_{r}^{p, q}) = \ker d_{r}^{p, q} / im d_{r}^{p - r, q - 1 + r} ≅ E_{r + 1}^{p, q}$ 이다.

호몰로지 스펙트럼 열의 경우 대신 $E_{p, q}^{r}$ 로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상

\partial_{r} : E_{p, q}^{r} \to E_{p - r, q - 1 + r}^{r}

을 사용한다.

그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 $r$ 에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 $r_{0}, r_{0} + 1, \dots$ 인 "책"을 이루며, 책의 $r \geq r_{0}$ 번째 쪽에는 $(p, q)$ 에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.

수렴과 퇴화

스펙트럼 열 $E_{r}^{p, q}$ 이 주어졌다고 하자. 만약 각 $(p, q)$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 $r_{0} (p, q)$ 가 존재한다고 하자.

d_{r}^{p - r, q + r + 1} = 0 \forall r \geq r_{0} (p, q)

d_{r}^{p, q} = 0 \forall r \geq r_{0} (p, q)

그렇다면, 주어진 $(p, q)$ 에 대하여 $E_{r}^{p, q}$ 는 충분히 큰 $r$ 에 대하여 같아진다. 이를 $E_{\infty}^{p, q}$ 라고 하고, $E_{r}^{p, q}$ 가 여과 지표(濾過指標, 틀:Llang) $p$ 에 대하여 $E_{\infty}^{p, q}$ 로 수렴(收斂, 틀:Llang, 틀:Lang)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.

E_{r}^{p, q} \Rightarrow_{p} E_{\infty}^{p, q}

보통 $E_{\infty}^{p, q}$ 는 여과 $F^{∙} E_{\infty}^{n}$ 가 갖추어져 있는 대상 $E_{\infty}^{n}$ 으로부터 다음과 같이 얻어진다.

E_{\infty}^{p, q} = \frac{F^{p} E_{\infty}^{p + q}}{F^{p + 1} E_{\infty}^{p + q}}

이 경우 마찬가지로

E_{r}^{p, q} \Rightarrow_{p} E_{\infty}^{n}

로 표기한다.

스펙트럼 열 $E_{r}^{p, q}$ 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 $r_{0}$ 가 존재한다면, $E_{r}^{p, q}$ 가 $r_{0}$ 에서 퇴화(退化, 틀:Llang)한다고 한다.

d_{r}^{p, q} = 0 \forall p, q \in ℤ, r \geq r_{0}

스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.

제1 사분면 스펙트럼 열

제1 사분면 스펙트럼 열(第一四分面spectrum列, 틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다.

만약 $p < 0$ 또는 $q < 0$ 이라면 $E_{r}^{p, q} = 0$

즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면에서만 영 대상이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실, $r$ 번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다.

제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우

E_{\infty}^{p, q} = E_{\max {p + 1, q + 2}}^{p, q}

이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시

E_{p, q}^{\infty} = E_{p, q}^{\max {p + 1, q + 2}}

이다.

코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열

E_{2}^{p, q} \Rightarrow_{p} E_{\infty}^{p + q}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

| \underline{\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ E_{3}^{0, 2} & E_{3}^{1, 2} & E_{3}^{2, 2} & E_{3}^{3, 2} & \dots \\ E_{3}^{0, 1} & E_{3}^{1, 1} & E_{3}^{2, 1} & E_{3}^{3, 1} & \dots \\ E_{3}^{0, 0} & E_{3}^{1, 0} & E_{3}^{2, 0} & E_{3}^{3, 0} & \dots \end{matrix}} = | \underline{\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \ker d_{2}^{0, 2} & \ker d_{2}^{1, 2} & \frac{\ker d_{2}^{2, 2}}{im d_{2}^{0, 3}} & \frac{\ker d_{2}^{3, 2}}{im d_{2}^{1, 3}} & \dots \\ \ker d_{2}^{0, 1} & \ker d_{2}^{1, 1} & \frac{\ker d_{2}^{2, 1}}{im d_{2}^{0, 2}} & \frac{\ker d_{2}^{3, 1}}{im d_{2}^{1, 2}} & \dots \\ E_{2}^{0, 0} & E_{2}^{1, 0} & coker d_{2}^{0, 1} & coker d_{2}^{1, 1} & \dots \end{matrix}}

넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

| \underline{\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ E_{4}^{0, 2} & E_{4}^{1, 2} & E_{4}^{2, 2} & E_{4}^{3, 2} & \dots \\ E_{4}^{0, 1} & E_{4}^{1, 1} & E_{4}^{2, 1} & E_{4}^{3, 1} & \dots \\ E_{4}^{0, 0} & E_{4}^{1, 0} & E_{4}^{2, 0} & E_{4}^{3, 0} & \dots \end{matrix}} = | \underline{\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \ker d_{3}^{0, 2} & \ker d_{3}^{1, 2} & \ker d_{3}^{2, 2} & \frac{\ker d_{3}^{3, 2}}{im d_{3}^{0, 4}} & \dots \\ \ker d_{2}^{0, 1} & \ker d_{2}^{1, 1} & \frac{\ker d_{2}^{2, 1}}{im d_{2}^{0, 2}} & coker d_{3}^{0, 3} & \dots \\ E_{2}^{0, 0} & E_{2}^{1, 0} & coker d_{2}^{0, 1} & coker d_{3}^{0, 2} & \dots \end{matrix}}

즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다.

| \underline{\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ E_{\infty}^{0, 2} & E_{\infty}^{1, 2} & E_{\infty}^{2, 2} & E_{\infty}^{3, 2} & \dots \\ E_{\infty}^{0, 1} & E_{\infty}^{1, 1} & E_{\infty}^{2, 1} & E_{\infty}^{3, 1} & \dots \\ E_{\infty}^{0, 0} & E_{\infty}^{1, 0} & E_{\infty}^{2, 0} & E_{\infty}^{3, 0} & \dots \end{matrix}} = | \underline{\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \ker d_{3}^{0, 2} & \ker d_{3}^{1, 2} & \ker d_{3}^{2, 2} & \frac{\ker d_{3}^{3, 2}}{im d_{3}^{0, 4}} & \dots \\ \ker d_{2}^{0, 1} & \ker d_{2}^{1, 1} & \frac{\ker d_{2}^{2, 1}}{im d_{2}^{0, 2}} & coker d_{3}^{0, 3} & \dots \\ E_{2}^{0, 0} & E_{2}^{1, 0} & coker d_{2}^{0, 1} & coker d_{3}^{0, 2} & \dots \end{matrix}}

수렴한 성분들이 $E_{\infty}^{∙}$ 의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

E_{\infty}^{p, q} = \frac{F^{p} E_{\infty}^{p + q}}{F^{p + 1} E_{\infty}^{p + q}}

그렇다면 다음이 성립한다.

E_{2}^{1, 0} ≅ E_{\infty}^{1, 0} = \frac{F^{1} E_{\infty}^{1}}{F^{2} E_{\infty}^{1}} = F^{1} E_{\infty}^{1}

\ker d_{2}^{0, 1} ≅ E_{\infty}^{0, 2} = \frac{F^{0} E_{\infty}^{1}}{F^{1} E_{\infty}^{1}} = \frac{E_{\infty}^{1}}{F^{1} E_{\infty}^{1}}

coker d_{2}^{0, 1} ≅ E_{\infty}^{2, 0} = \frac{F^{2} E_{\infty}^{2}}{F^{3} E_{\infty}^{2}} = F^{2} E_{\infty}^{2}

따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

0 \to E_{2}^{1, 0} ≅ F^{1} E_{\infty}^{1} ↪ E_{\infty}^{1} \to \frac{E_{\infty}^{1}}{F^{1} E_{\infty}^{1}} ≅ \ker d_{2}^{0, 1} ↪ E_{2}^{0, 1} \overset{d_{2}^{0, 1}}{\to} E_{2}^{2, 0} ↠ coker d_{2}^{0, 1} ≅ F^{2} E_{\infty}^{2} ↪ E_{\infty}^{2}

여기서 $\ker d_{2}^{0, 1}$ 와 $coker d_{2}^{0, 1}$ 을 생략하면, 다음과 같은 완전열을 얻는다.

0 \to E_{2}^{1, 0} \to E_{\infty}^{1} \to E_{2}^{0, 1} \overset{d_{2}^{0, 1}}{\to} E_{2}^{2, 0} \to E_{\infty}^{2}

이를 5항 완전열(五項完全列, 틀:Llang)이라고 한다.

호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열

E_{p, q}^{2} \Rightarrow_{p} E_{p + q}^{\infty}

이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이 $E_{∙}^{\infty}$ 의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

E_{p, q}^{\infty} = \frac{F_{p} E_{p + q}^{\infty}}{F_{p - 1} E_{p + q}^{\infty}}

그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다.

E_{1, 0}^{2} ≅ E_{1, 0}^{\infty} = \frac{F_{1} E_{1}^{\infty}}{F_{0} E_{1}^{\infty}} = \frac{E_{1}^{\infty}}{F_{0} E_{1}^{\infty}}

\ker \partial_{2, 0}^{2} ≅ E_{2, 0}^{\infty} = \frac{F_{2} E_{2}^{\infty}}{F_{1} E_{2}^{\infty}} = \frac{E_{2}^{\infty}}{F_{1} E_{2}^{\infty}}

coker \partial_{2, 0}^{2} ≅ E_{0, 1}^{\infty} = \frac{F_{0} E_{\infty}^{2}}{F_{- 1} E_{\infty}^{2}} = F_{0} E_{\infty}^{2}

이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

E_{2}^{\infty} ↠ \frac{E_{2}^{\infty}}{F_{1} E_{2}^{\infty}} ≅ \ker \partial_{2, 0}^{2} ↪ E_{2, 0}^{2} \overset{\partial_{2, 0}^{2}}{\to} E_{0, 1}^{2} ↠ coker \partial_{2, 0}^{2} ≅ F_{0} E_{1}^{\infty} ↪ E_{1}^{\infty} ↠ \frac{E_{1}^{\infty}}{F_{0} E_{1}^{\infty}} ≅ E_{1, 0}^{2} \to 0

여기서 $\ker \partial_{2, 0}^{2}$ 와 $coker \partial_{2, 0}^{2}$ 을 생략하면, 다음과 같은 5항 완전열을 얻는다.

E_{2}^{\infty} \to E_{2, 0}^{2} \overset{\partial_{2, 0}^{2}}{\to} E_{0, 1}^{2} \to E_{1}^{\infty} \to E_{1, 0}^{2} \to 0

구성

스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다.

완전쌍

어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍(完全雙, 틀:Llang) $(A, E, f, g, h)$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

두 개의 대상 $A$ , $E$
사상 $A \overset{f}{\to} A \overset{g}{\to} E \overset{h}{\to} A$

이들은

im f = \ker g

im g = \ker h

im h = \ker f

를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다.

\begin{matrix} A & \overset{f}{\to} & A \\ h ↖ & ↙ g \\ E \end{matrix}

완전쌍 $(A, E, f, g, h)$ 의 유도 완전쌍(誘導完全雙, 틀:Llang) $(A^{'}, E^{'}, f^{'}, g^{'}, h^{'})$ 은 다음과 같은 완전쌍이다.

$d = g \circ h$
$A^{'} = im f$
$E^{'} = \ker d / im d$
$f^{'} = f |_{A} : A^{'} \to A^{'}$
$g^{'} : A^{'} \to E^{'}$ 는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) $g^{'} : a^{'} \mapsto g (f^{- 1} (a^{'}))$ 이다. 이 경우, $f^{- 1} (a^{'})$ 의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
$h^{'} : E^{'} \to A^{'}$ 는 $h : C \to A$ 에 의하여 유도된다. 즉, $h : [e] \mapsto h (e)$ 이다. 이 경우, $g (h (e)) = 0$ 이므로 항상 $g (h (e)) = f (a)$ 인 $a \in A$ 가 존재하며, 따라서 $h (e) \in f (A) = A^{'}$ 이다.

이를 반복하여, $n$ 차 유도 완전쌍 $(A^{(n)}, E^{(n)}, f^{(n)}, g^{(n)}, h^{(n)})$ 을 정의할 수 있다. 그렇다면,

E^{(0)} \overset{d}{\Rightarrow} E^{(1)} \overset{d^{(1)}}{\Rightarrow} E^{(2)} \Rightarrow \dots

는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, $A$ 및 $C$ 는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.

여과 복합체의 스펙트럼 열

사슬 복합체 $(C_{∙}, \partial_{∙})$ 에 증가하는 여과 $F_{∙} (C_{∙})$ 가 주어졌다고 하자. 즉,

F_{p} C_{∙} \subseteq F_{p + 1} C_{∙}

라고 하자. 또한, 경계 $\partial$ 가 여과와 호환된다고 하자. 즉,

\partial (F_{p} C_{n}) \subseteq \partial (F_{p} C_{n + 1})

이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.

\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ↓ f & ↓ & ↓ f & ↓ \\ \dots \to & H_{n + 1} (F_{p} C^{∙}) & \overset{g}{\to} & H_{n + 1} (F_{p} C^{∙} / F_{p - 1} C^{∙}) & \overset{h}{\to} & H_{n} (F_{p - 1} C^{∙}) & \overset{g}{\to} & H_{n} (F_{p - 1} C^{∙} / F_{p - 2} C^{∙}) & \to \dots \\ ↓ f & ↓ & ↓ f & ↓ \\ \dots \to & H_{n + 1} (F_{p + 1} C^{∙}) & \overset{g}{\to} & H_{n + 1} (F_{p + 1} C^{∙} / F_{p} C^{∙}) & \overset{h}{\to} & H_{n} (F_{p} C^{∙}) & \overset{g}{\to} & H_{n} (F_{p} C^{∙} / F_{p - 1} C^{∙}) & \to \dots \\ ↓ f & ↓ & ↓ f & ↓ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}

여기에

A = ⨁_{p, q} H_{q} (F_{p} C^{∙})

E = ⨁_{p, q} H_{q} (F_{p} C^{∙} / F_{p - 1} C^{∙})

를 정의한다면,

$f : A \to A$
$g : A \to E$
$h : E \to A$

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.

예

$X$ 가 CW 복합체이며, $X_{p}$ 가 그 $p$ 차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.^[1]

\begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ↓ f & ↓ & ↓ f & ↓ \\ \dots \to & H_{n + 1} (X_{p}) & \overset{g}{\to} & H_{n + 1} (X_{p}, X_{p - 1}) & \overset{h}{\to} & H_{n} (X_{p - 1}) & \overset{g}{\to} & H_{n} (X_{p - 1}, X_{p - 2}) & \to \dots \\ ↓ f & ↓ & ↓ f & ↓ \\ \dots \to & H_{n + 1} (X_{p + 1}) & \overset{g}{\to} & H_{n + 1} (X_{p + 1}, X_{p}) & \overset{h}{\to} & H_{n} (X_{p}) & \overset{g}{\to} & H_{n} (X_{p}, X_{p - 1}) & \to \dots \\ ↓ f & ↓ & ↓ f & ↓ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}

이에 따라,

A = ⨁_{p, q} H_{q} (X_{p})

E = ⨁_{p, q} H_{q} (X_{p}, X_{p - 1})

로 놓으면,

$f : A \to A$
$g : A \to E$
$h : E \to A$

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 $E_{p, q}^{2}$ 에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.

역사

장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.^[2]^[3] 이는 오늘날 르레 스펙트럼 열로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.^[4]

르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(틀:Llang)라는 용어를 사용하였고,^[5]^[6]^[7] 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(틀:Llang)으로 개량하였다.^[6]^[8] 존 매클리어리(틀:Llang)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다.^[7] 라비 바킬(틀:Llang)은 스펙트럼 열(틀:Llang)이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(틀:Llang)처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(틀:Llang) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.^[9]

1952년에 윌리엄 슈마허 매시(틀:Llang)는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다.^[10]^[11] 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 층 코호몰로지의 르레 스펙트럼 열과 군 코호몰로지의 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 그로텐디크 스펙트럼 열로 일반화하였다.

곧 애덤스 스펙트럼 열(틀:Llang), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence), 복시테인 스펙트럼 열 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다.

각주

틀:각주

외부 링크

[1] 틀:서적 인용

[2] 틀:저널 인용

[3] 틀:저널 인용

[4] 틀:저널 인용

[5] 틀:서적 인용

[Miller-6] 6.0 ^6.1 틀:서적 인용

[Chow-7] 7.0 ^7.1 틀:저널 인용

[8] 틀:저널 인용

[9] 틀:웹 인용

[10] 틀:저널 인용

[11] 틀:저널 인용

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

스펙트럼 열

목차

정의

수렴과 퇴화

제1 사분면 스펙트럼 열

코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

구성

완전쌍

여과 복합체의 스펙트럼 열

예

역사

각주

외부 링크

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스펙트럼 열

정의

수렴과 퇴화

제1 사분면 스펙트럼 열

코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

구성

완전쌍

여과 복합체의 스펙트럼 열

예

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