완전 함자

정의

아벨 범주 $𝒞$ 와 $𝒟$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $𝒞$ 에서 $𝒟$ 로 가는 가법 함자(틀:Llang)는 다음 성질을 만족시키는 함자 $F : 𝒞 \to 𝒟$ 이다.

(가법성) 모든 대상 $A, B \in 𝒞$ 에 대하여, $F |_{hom (A, B)} : hom (A, B) \to hom (F (A), F (B))$ 는 아벨 군의 군 준동형이다.

아벨 범주 $𝒞$ 와 $𝒟$ 사이의 완전 함자는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자 $F : 𝒞 \to 𝒟$ 이다.

(완전열의 보존) $𝒞$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0 \to A \to B \to ℂ \to 0$ 에 대하여, $0 \to F (A) \to F (B) \to F (C) \to 0$ 는 $𝒟$ 속의 짧은 완전열을 이룬다.

아벨 범주 $𝒞$ 와 $𝒟$ 사이의 가법 함자 $F : 𝒞 \to 𝒟$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 왼쪽 완전 함자(틀:Llang)라고 한다.

$𝒞$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0 \to A \to B \to C \to 0$ 에 대하여, $0 \to F (A) \to F (B) \to F (C)$ 는 $𝒟$ 속의 완전열을 이룬다.
$𝒞$ 속의 임의의 완전열 $0 \to A \to B \to C$ 에 대하여, $0 \to F (A) \to F (B) \to F (C)$ 는 $𝒟$ 속의 완전열을 이룬다.

아벨 범주 $𝒞$ 와 $𝒟$ 사이의 가법 함자 $F : 𝒞 \to 𝒟$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 오른쪽 완전 함자(틀:Llang)라고 한다.

$𝒞$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0 \to A \to B \to C \to 0$ 에 대하여, $F (A) \to F (B) \to F (C) \to 0$ 는 $𝒟$ 속의 완전열을 이룬다.
$𝒞$ 속의 임의의 완전열 $A \to B \to C \to 0$ 에 대하여, $F (A) \to F (B) \to F (C) \to 0$ 는 $𝒟$ 속의 완전열을 이룬다.

아벨 범주의 동치는 항상 완전 함자이다.

아벨 범주 $𝒞$ 의 사영 대상 $P \in 𝒞$ 가 주어지면,

hom (P, -) : 𝒞 \to Ab

는 완전 함자이다. 마찬가지로, 단사 대상 $I \in 𝒞$ 가 주어지면,

hom (-, I) : 𝒞 \to {Ab}^{op}

는 완전 함자이다.

체 $K$ 에 대한 벡터 공간들의 범주 $K - Vect$ 의 경우, 쌍대 공간

V^{*} = hom (V, K)

은 완전 함자

hom (-, K) : K - Vect \to K - {Vect}^{op}

를 정의한다.