연쇄 법칙

미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 틀:Llang)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다.

정의

실변수 실숫값 함수

함수 $g$가 $x_0$에서 미분 가능하며, 함수 $f$가 $g(x_0)$에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, $f\circ g$는 $x_0$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

$(f\circ g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))g^{\prime }(x_0)$

특히, 만약 $g$가 구간 $I$에서, $f$가 $g(I)$에서 미분 가능하다면, $f\circ g$는 $I$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }$

이를 라이프니츠 표기법 및 표기 $y=f(u)$, $u=g(x)$를 사용하여 다시 쓰면 다음과 같다.

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환 적분이라고 한다.

보다 일반적으로, 함수의 합성의 고계 도함수에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 파 디 브루노 공식(틀:Llang)이라고 한다.

$(f\circ g{)}^{(n)}(x)=\sum _{k_1,\dots ,k_n\ge 0}^{k_1+2k_2+\cdots n{k}_n=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_n!}{f}^{(k_1+\cdots +k_n)}(g(x))\prod _{m=1}^n{\left(\frac{g^{(m)}(x)}{m!}\right)}^{k_m}$

다변수 벡터값 함수

a ∈ Rⁿ, g : Rⁿ → R^m, f : R^m → R^p라 하자. 만약 g가 a에서 미분가능하고, f가 g(a)에서 미분가능하다면 f∘g는 a에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.

$D(f\circ g)(𝐚)=Df(g(𝐚))Dg(𝐚)$

합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x₁, x₂, …, x_n) : Rⁿ → R^m , f(u₁, u₂,…, u_m) : R^m → R 가 a에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = f∘g= f(g(x₁, x₂, …, x_n))는 미분가능하고 미분은

$Dz(a)=D(f\circ g)(𝐚)=Df(g(𝐚))Dg(𝐚)=\mathrm{\nabla }f(g(𝐚))Dg(𝐚)$

편미분은

$\frac{\partial f}{\partial x_j}=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_j}+\frac{\partial f}{\partial u_2}\frac{\partial u_2}{\partial x_j}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial u_m}\frac{\partial u_m}{\partial x_j}$

이다.

같이 보기

• 곱의 규칙
• 고계도함수
• 테일러급수