환 달린 공간

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 환 달린 공간(環달린空間, 틀:Llang)은 간단히 말하면 각 열린집합마다 가환환이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 해석학 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, 대수기하학에서 스킴을 정의하기 위해서도 사용된다.

정의

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$은 위상 공간 $X$와 그 위의 가환환의 층 ${𝒪}_X$의 순서쌍이다. ${𝒪}_X$를 $X$의 구조층(構造層, 틀:Llang)라고 한다.

두 환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$, $(Y,{𝒪}_Y)$ 사이의 사상(寫像, 틀:Llang) $(f,f^{\mathrm{\#}})$은 다음과 같은 순서쌍이다.

• $f:X\to Y$는 연속 함수이다.
• $f^{\mathrm{\#}}:{𝒪}_Y\to f_{*}{𝒪}_X$는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, $X$의 각 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $f_U^{\mathrm{\#}}:O_Y(U)\to O_X(f^{-1}(U))$는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

국소환 달린 공간

국소환 달린 공간(局所環달린空間, 틀:Llang)은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 $U$에 대해 ${𝒪}_X(U)$가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 사상(寫像, 틀:Llang) $(f,f^{\mathrm{\#}}):(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $f^{\mathrm{\#}}$로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 ${𝒪}_{Y,f(x)}\to {𝒪}_{X,x}$ 아래, ${𝒪}_{X,x}$의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 ${𝒪}_{Y,f(x)}$의 유일한 극대 아이디얼과 같다.

열린 몰입

환 달린 공간 사상 $(f,f^{\mathrm{\#}}):(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 열린 몰입(틀:Llang)이라고 한다.

• $f$의 치역 $f(X)$은 열린집합이며, $f$는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
• $f^{\mathrm{\#}}:{𝒪}_Y\to f_{*}{𝒪}_X$이 층의 동형 사상 ${𝒪}_Y{|}_{f(X)}\to f_{*}{𝒪}_X$을 유도한다.

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 및 $X$의 열린집합 $U\subseteq X$가 주어졌을 때, $(U,{𝒪}_X{|}_U)$는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 $(U,{𝒪}_X{|}_U)\to (X,{𝒪}_X)$은 열린 몰입을 이룬다. 만약 $(X,{𝒪}_X)$가 국소환 달린 공간이라면 $(U,{𝒪}_X{|}_U)$ 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다.

닫힌 몰입

틀:본문 환 달린 공간 사상 $(f,f^{\mathrm{\#}}):(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 닫힌 몰입(틀:Llang)이라고 한다.

• $f$의 치역은 닫힌집합이며, $f$는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
• $f^{\mathrm{\#}}:{𝒪}_Y\to f_{*}{𝒪}_X$는 가환환 값의 층의 전사 사상이다. 즉, 모든 줄기 사상 ${𝒪}_{Y,f(x)}\to {𝒪}_{X,x}$은 전사 함수이다.

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 아이디얼 층 $ℐ\subseteq {𝒪}_X$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 $\mathrm{supp}ℐ\subseteq X$은 닫힌집합이다. $\mathrm{supp}ℐ\subseteq X$ 위의 몫층 ${𝒪}_X/ℐ$을 정의할 수 있으며, $(\mathrm{supp}ℐ,{𝒪}_X/ℐ)\to (𝒳,{𝒪}_X)$는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 $(X,{𝒪}_X)$가 국소환 달린 공간이라면 $(\mathrm{supp}ℐ,{𝒪}_X/ℐ)$ 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합인 닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴 ⊋ 아핀 스킴

범주론적 성질

환 달린 공간의 범주 $\mathrm{RingSp}$와 국소환 달린 공간의 범주 $\mathrm{LocRingSp}$는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

$\mathrm{LocRingSp}$는 $\mathrm{RingSp}$의 충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

$\mathrm{LocRingSp}\hookrightarrow \mathrm{RingSp}$

는 오른쪽 수반 함자를 가진다.틀:Rp

예

모든 스킴은 국소환 달린 공간이다.

국소 유클리드 공간 $M$ 위에 실수 값의 연속 함수의 층 ${𝒞}^0(M;ℝ)$을 부여한다면, $(M,{𝒞}^0(M;ℝ))$은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체 $M$ 위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)$을 부여한다면, $(M,{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ))$은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 복소다양체 $M$ 위에 복소수 값의 정칙 함수의 층 ${𝒪}_M$을 부여한다면, $(M,{𝒪}_M)$은 국소환 달린 공간을 이룬다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
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