오일러의 곱셈 공식

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틀:위키데이터 속성 추적 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)은 디리클레 급수(Dirichlet series)를 모든 소수에 대한 무한곱으로 표현한 것이다. 리만 제타 함수의 경우를 증명한 오일러의 이름을 딴 것으로 오일러 곱(Euler product)이라고도 한다.

일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자.

\sum_{n} a (n) n^{- s}

여기서 $a (n)$ 는 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다.

\prod_{p} P (p, s)

여기서 $P (p, s)$ 는 다음 급수가 된다.

1 + a (p) p^{- s} + a (p^{2}) p^{- 2 s} + \dots .

이는 산술의 기본 정리 때문에 성립하는 것이다. 특히, $a (n)$ 이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 $P (p, s)$ 는 무한등비급수(geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다.

P (p, s) = \frac{1}{1 - a (p) p^{- s}}

리만 제타 함수의 경우 $a (n) = 1$ 이 된다.

예

레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 리만 제타 함수가 오일러 곱과 등치함을 증명하였다. 오일러의 곱셈 공식은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(틀:Llang)에 수록되었다.^[1] 오일러가 증명한 리만 제타 함수의 무한곱이 가장 유명하므로 리만 제타 함수의 무한곱을 오일러 곱이라 지칭하는 경우도 많다.

오일러의 증명

오일러의 곱셈 공식에 대한 오일러의 증명은 다음과 같다.^[2]^[3] $1$ 보다 큰 임의의 복소수 $s$ 에서, 리만 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.

ζ (s) = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \dots

양변에 $\frac{1}{2^{s}}$ 를 곱하면 $a^{s} \cdot b^{s} = (a \cdot b)^{s}$ 이라는 지수법칙에 의해

\frac{1}{2^{s}} ζ (s) = \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{6^{s}} + \dots

이 성립한다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 좌변은 $ζ (s) - \frac{1}{2^{s}} \cdot ζ (s) = (1 - \frac{1}{2^{s}}) \cdot ζ (s)$ 로 정리되고 우변에는 홀수의 $- s$ 제곱 항만이 남게 되므로

(1 - \frac{1}{2^{s}}) \cdot ζ (s) = 1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \dots

을 얻는다. 이제 위의 결과에 $\frac{1}{3^{s}}$ 를 곱하면

\frac{1}{3^{s}} (1 - \frac{1}{2^{s}}) \cdot ζ (s) = \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{1 5^{s}} + \dots

이므로, 이 결과를 위 식에서 빼면

(1 - \frac{1}{3^{s}}) (1 - \frac{1}{2^{s}}) \cdot ζ (s) = 1 + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{1 1^{s}} + \dots

이 되며 우변의 분모에서 $3$ 의 배수가 모두 사라진다. 이 작업을 모든 소수 $p$ 에 대하여 계속 반복하면

\dots (1 - \frac{1}{p^{s}}) \dots (1 - \frac{1}{1 1^{s}}) (1 - \frac{1}{7^{s}}) (1 - \frac{1}{5^{s}}) (1 - \frac{1}{3^{s}}) (1 - \frac{1}{2^{s}}) ζ (s) = 1

을 얻는다. 지수법칙에 의해 $\frac{1}{p^{s}} = p^{- s}$ 이므로, 위 식은

\prod_{p prime} (1 - p^{- s}) \cdot ζ (s) = 1

과 같이 정리할 수 있다. 이제 좌변에 $ζ (s)$ 만을 남기고 모든 인수를 우변으로 이항하면,

ζ (s) = \prod_{p prime} \frac{1}{1 - p^{- s}}

와 같이 오일러의 곱셈 공식을 유도할 수 있다. 이 증명법은 에라토스테네스의 체에 기초한 증명 방법이다.

오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들

아래는 오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들이다.

란다우-라마누잔 상수

K = \frac{π}{4} \prod_{p = 1 mod 4} {(1 - \frac{1}{p^{2}})}^{\frac{1}{2}}

쌍둥이 소수 상수

C_{2} = \prod_{\binom{p p r i m e}{p \geq 3}} (1 - \frac{1}{(p - 1)^{2}})

펠러-토르니어 상수

C_{F T} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{2}{p_{n}^{2}}))

마이셀-메르텐스 상수

B_{2} = (\sum_{n = 1}^{\infty} (\ln (1 - \frac{1}{p_{n}}) + \frac{1}{p_{n} - 1})) + γ

알틴 상수

C_{A} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{1}{P_{n} (P_{n} - 1)})

케어프리 상수(carefree constant)

K_{1} = \prod_{p} (1 - \frac{2 p - 1}{p^{3}})

바반 상수

C_{B} = \prod_{p} (1 + \frac{3 p^{2} - 1}{p (p + 1) (p^{2} - 1)})

이차 유수 상수 또는 이차 수체 유수 상수(Quadratic Class Number Constant)

\prod_{p} (1 - \frac{1}{p^{2} (p + 1)})

스티븐스 상수

\prod_{p} (1 - \frac{p}{p^{3} - 1})

타니구치 상수

\prod_{p} (1 - \frac{3}{p^{3}} + \frac{2}{p^{4}} + \frac{1}{p^{5}} - \frac{1}{p^{6}})

무라타 상수

\prod_{p} (1 + \frac{1}{(p - 1)^{2}})

니븐 상수

C_{N i v e n} = 1 + \sum_{s = 2}^{\infty} (1 - \frac{1}{ζ (s)})

ζ (s)

는 리만 제타 함수

해프너-사낙크-맥컬리 상수

D (n) = \prod_{k = 1}^{\infty} {1 - {[1 - \prod_{j = 1}^{n} (1 - \frac{1}{p_{k}^{j}})]}^{2}}

란다우 토션트 상수(Landau's totient constant)

\prod_{p} (1 + \frac{1}{p (p - 1)}) = \frac{ζ (2) ζ (3)}{ζ (6)} = \frac{315 A}{2 π^{4}}

A = ζ (3)

은 아페리 상수

사르낙 상수(Sarnak's constant)

\prod_{p > 2} (1 - \frac{p + 2}{p^{3}}) = 0.723648 . . .

같이 보기

각주

틀:전거 통제

↑ 존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 승산, 2006, 154쪽, 틀:ISBN
↑ 존 더비셔, 같은 책, 149-153쪽
↑ Euler Product Formula 틀:웹아카이브, myyn.org, 2007-07-16에 읽어 봄

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