란다우-라마누잔 상수

틀:위키데이터 속성 추적 란다우-라마누잔 상수(Landau-Ramanujan Constant)는 1908년 에드문트 란다우가 증명한 정리에서 등장하는 양의 실수 $b$ 이다. 란다우는 어떤 양의 실수 $b$ 에 대해, 충분히 큰 $x$ 에 대해, $x$ 이하의 양의 정수 중 두 제곱수의 합으로 나타내어지는 것의 개수는 점근적으로 $\frac{b x}{\sqrt{\ln x}}$ 임을 증명하였다. 정리에서 등장하는 상수 $b$ 가 란다우-라마누잔 상수이다.

자연수의 제곱합의 함수 $r_{2} (n)$ 와의 관계 $(O E I S A 001481)$

1 = 0^{2} + 1^{2}

2 = 1^{2} + 1^{2}

4 = 0^{2} + 2^{2}

5 = 1^{2} + 2^{2}

8 = 2^{2} + 2^{2}

S (n) = \sum_{1 \to n} r_{2} (n), r_{2} (n) > 0

S (n)

은

r_{2} (n)

의 누적 개수이다.

S (1) = 1 = \overset{1}{\overset{⏞}{r_{2} (1)}}

S (2) = 2 = \overset{2}{\overset{⏞}{r_{2} (1), r_{2} (2)}}

S (4) = 3 = \overset{3}{\overset{⏞}{r_{2} (1), r_{2} (2), r_{2} (4)}}

S (5) = 4 = r_{2} (1), r_{2} (2), r_{2} (4), r_{2} (5)

S (8) = 5 = r_{2} (1), r_{2} (2), r_{2} (4), r_{2} (5), r_{2} (8)

K = \lim_{x \to \infty} S (x) (\frac{\sqrt{\ln x}}{x})

란다우(1908)

S (x) = K \int_{A}^{x} (\frac{d t}{\sqrt{\ln t}}) + θ (x)

라마누잔, 하디(Hardy 1940)

K = 0.7642236535 . . . . (O E I S A 064533)

란다우-라마누잔 상수의 다른 형태

두 제곱수의 합

두 제곱수의 합으로 나타내어지는 정수는 그 소인수분해에서 4로 나눈 나머지가 3인 각 소수들의 지수가 짝수인 수이다. 예를 들어, 45 = 9 + 36은 두 제곱수의 합이다. 소인수분해 3² x 5에서 3은 짝수 지수를 가지며, 5는 4로 나눈 나머지가 1이므로 지수가 홀수일 수 있다.

란다우의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

$\lim_{x \to \infty} (\frac{\sqrt{\ln x}}{x} \cdot S (x)) = b \approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541$ 틀:OEIS,

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란다우-라마누잔 상수

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